Xét các số phức z, w thỏa mãn \(|z - 1| = |w - 1| = 2\) và \(|z - w| = |z + w|\). Giá trị nhỏ nhất
Xét các số phức z, w thỏa mãn \(|z - 1| = |w - 1| = 2\) và \(|z - w| = |z + w|\). Giá trị nhỏ nhất của \(T = \left| {z + w + 2 - 3i} \right|\) bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Cách 1:
Đặt \(a = z - 1,b = w - 1\), ta có: \(\left| a \right| = \left| b \right| = 2\) và \(\left| {a + b + 2\left| = \right|a - b} \right|\).
\(T = \left| {a + b + 4 - 3i} \right|\).
Mặt khác: \(\left| {a + b{|^2} + } \right|a - b{|^2} = 2\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)\).
Suy ra: \(\left| {a + b{|^2} + } \right|a + b + 2{|^2} = 2\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right) = 16\).
Giả sử: \(a + b = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\).
Ta có: \(\left| {a + b{|^2} + } \right|a + b + 2{|^2} = 16 \Rightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 6 = 0\).
Do đó: tập hợp các điểm \(M\) biểu diễn số phức \(a + b\) là một đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I( - 1;0\), và bán kính \(R = \sqrt 7 \).
Điểm \(A\left( { - 4;3} \right)\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\).
\(T = \left| {a + b + 4 - 3i} \right| = MA \ge IA - R = 3\sqrt 2 - \sqrt 7 \).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(T = \left| {z + w + 2 - 3i} \right|\) bằng \(3\sqrt 2 - \sqrt 7 \).
Cách 2:
Gọi \(M\left( z \right),N\left( w \right),E\left( {z + w} \right),I\left( {1;0} \right),A\left( { - 2;3} \right)\). Khi đó từ giả thiết suy ra \(M,N\) thuộc đường tròn (C) tâm \(I\left( {1;0} \right)\), bán kính \(R = 2\) và \(OE = MN\), kéo theo ta có được tứ giác \(OMEN\) là hình chữ nhật (hai đường chéo bằng nhau).
Suy ra \(OM \bot ON\) tức \(\left| {z{|^2} + } \right|w{|^2} = |z - w{|^2}\).
Tiếp theo ta cần áp dụng tính chất sau: \(2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right) = {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2}\). Khi đó ta có:
\(16 = 2\left( {\left| {z - 1{|^2} + } \right|w - 1{|^2}} \right) = \left| {z + w - 2{|^2} + } \right|z - w{|^2} = \left| {z + w - 2{|^2} + } \right|z + w{|^2}\)
Đặt \(z + w = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) thì (1) trở thành: \({(x - 2)^2} + {y^2} + \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 64 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {y^2} = 7\) tức \(E\left( {z + w} \right)\) luôn di động trên đường tròn \(\left( {C'} \right)\) tâm \(I\left( {1;0} \right)\), bán kính \(r = \sqrt 7 \).
Từ hình vẽ ta suy ra: \(T = \left| {z + w + 2 - 3i} \right| = EA \ge IA - r = 3\sqrt 2 - \sqrt 7 \) khi \(P \equiv {P_0} = IA \cap \left( {C'} \right)\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
