Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Bất phương trình \(\left( {\sqrt {{{25}^x} - 4x \cdot {5^{x + 1}} + 100{x^2} + 2}  + {5^x} - 10x} \right)\left(

Câu hỏi số 642260:
Vận dụng cao

Bất phương trình \(\left( {\sqrt {{{25}^x} - 4x \cdot {5^{x + 1}} + 100{x^2} + 2}  + {5^x} - 10x} \right)\left( {\sqrt {{4^x} + 2}  - {2^x}} \right) \le 2\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?

 

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:642260
Phương pháp giải

 

 
Giải chi tiết

Điều kiện: \({25^x} - 4x \cdot {5^{x + 1}} + 100{x^2} + 2 \ge 0\)

        \( \Leftrightarrow {5^{2x}} - 2 \cdot 10x \cdot {5^x} + 100{x^2} + 2 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{5^x} - 10x} \right)^2} + 2 \ge 0\) (luôn thỏa mãn với mọi \(x\) )

Đặt \({5^x} - 10x = u\) và \({2^x} = v\). Bất phương trình đã cho trở thành \(\left( {\sqrt {{u^2} + 2}  + u} \right)\left( {\sqrt {{v^2} + 2}  - v} \right) \le 2\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt {{u^2} + 2}  + u} \right)\left( {\sqrt {{v^2} + 2}  - v} \right)\left( {\sqrt {{v^2} + 2}  + v} \right) \le 2\left( {\sqrt {{v^2} + 2}  + v} \right)\)

                 \( \Leftrightarrow \sqrt {{u^2} + 2}  + u \le \sqrt {{v^2} + 2}  + v\)

Hàm số \(f\left( t \right) = \sqrt {{t^2} + 2}  + t\) có đạo hàm \(f'\left( t \right) = \dfrac{t}{{\sqrt {{t^2} + 2} }} + 1 = \dfrac{{t + \sqrt {{t^2} + 2} }}{{\sqrt {{t^2} + 2} }} > \dfrac{{t + \left| t \right|}}{{\sqrt {{t^2} + 2} }} \ge 0,\forall t\) nên đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó, \(\sqrt {{u^2} + 2}  + u \le \sqrt {{v^2} + 2}  + v \Leftrightarrow f\left( u \right) \le f\left( v \right) \Leftrightarrow u \le v\).

Suy ra \({5^x} - 10x \le {2^x} \Leftrightarrow {5^x} - 10x - {2^x} \le 0\).

Xét \(x\) là số nguyên:

Nếu \(x \le  - 1\) thì \({5^x} - 10x - {2^x} > 0 + 10 - \dfrac{1}{2} > 0\).

Nếu \(x = 0\) thì \({5^x} - 10x - {2^x} = 1 - 10.0 - 1 = 0\).

Nếu \(x = 1\) thì \({5^x} - 10x - {2^x} = 5 - 10.1 - 2 < 0\).

Nếu \(x = 2\) thì \({5^x} - 10x - {2^x} = 25 - 10.2 - 4 > 0\).

Nếu \(x \ge 3\) thì

\({5^x} = {(2 + 3)^x} = {2^x} + C_x^1 \cdot {2^{x - 1}} \cdot 3 + C_x^2 \cdot {2^{x - 2}} \cdot {3^2} + ...\)

\( = {2^x} + 3x \cdot {2^{x - 1}} + C_x^2 \cdot {2^{x - 2}} \cdot {3^2} +  \cdots  > {2^x} + 12x > {2^x} + 10x\)

Suy ra \({5^x} - 10x - {2^x} > 0\).

Vậy bất phương trình đã cho có đúng hai nghiệm nguyên là \(x = 0\) và \(x = 1\).

 
Chú ý khi giải

 

 

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn