Trong hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{{x - 2}}{3} +

Câu hỏi số 642313:

Thông hiểu

Trong hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{{x - 2}}{3} + \dfrac{{y - 1}}{2} + \dfrac{{z - 4}}{{ - 6}} = 1\) và \(\left( Q \right):{\mkern 1mu} x + 2y + 3z + 7 = 0\). Tính tang góc tạo bởi hai mặt phẳng đã cho.

A. \(\dfrac{3}{{\sqrt {19} }}\).

B. \(\dfrac{3}{{5\sqrt {19} }}.\)

C. \(\dfrac{5}{{3\sqrt {19} }}\).

D. \(\dfrac{{3\sqrt {19} }}{5}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642313

Phương pháp giải

Cho \(\left( \alpha \right):{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0,\,\,\,\left( \beta \right):{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = ({a_1};{b_1};{c_1}),\,\,\overrightarrow {{n_2}} = ({a_2};{b_2};{c_2})\) lần lượt là các VTPT. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) được tính: \(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{{x - 2}}{3} + \dfrac{{y - 1}}{2} + \dfrac{{z - 4}}{{ - 6}} = 1\\ \Leftrightarrow 2x - 4 + 3y - 3 - z + 4 = 6\\ \Leftrightarrow 2x + 3y - z - 3 = 0\end{array}\)

=> (P) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;3; - 1} \right)\).

\(\left( Q \right):{\mkern 1mu} x + 2y + 3z + 7 = 0\) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2;3} \right)\).

\( \Rightarrow \cos \varphi = \cos \left( {\left( P \right),\,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {2.1 + 3.2 + \left( { - 1} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \dfrac{5}{{14}}\).

Ta có: \({\tan ^2}\varphi = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\varphi }} - 1 = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{5}{{14}}} \right)}^2}}} - 1 = \dfrac{{171}}{{25}} \Rightarrow \tan \varphi = \dfrac{{3\sqrt {19} }}{5}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.