Trong tất cả các số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 2} \right| = \left| {\dfrac{{z + \bar z}}{2} + 4}

Câu hỏi số 642344:

Vận dụng

Trong tất cả các số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 2} \right| = \left| {\dfrac{{z + \bar z}}{2} + 4} \right|\), gọi số phức \(z = a + b{\rm{i}}\) \(\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) là số phức có môđun nhỏ nhất. Tính \(S = a + {b^2}\).

A. \(5\).

B. \(4\).

C. \(3\).

D. \(2\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642344

Phương pháp giải

Thay \(z = a + b{\rm{i}}\) vào \(\left| {z + 2} \right| = \left| {\dfrac{{z + \bar z}}{2} + 4} \right|\). Biến đổi, tìm hệ thức liên hệ giữa a, b.

Tìm a, b để \({\left| z \right|_{\min }}\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {z + 2} \right| = \left| {\dfrac{{z + \bar z}}{2} + 4} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {a + bi + 2} \right| = \left| {\dfrac{{a + bi + a - bi}}{2} + 4} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {a + 2 + bi} \right| = \left| {a + 4} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} = {\left( {a + 4} \right)^2}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {b^2} = 4a + 12\).

Xét \({\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2} = {a^2} + 4a + 12 = {\left( {a + 2} \right)^2} + 8 \ge 8\)

\( \Rightarrow {\left| z \right|_{\min }} = 2\sqrt 2 \,\,khi\,\,a = - 2,\,\,\,\,{b^2} = 4\left( { - 2} \right) + 12 = 4\)\( \Rightarrow a + {b^2} = 2\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.