Có bao nhiêu số nguyên \(x\) là nghiệm của bất phương trình \({\log _3}\left( {\dfrac{{\sqrt {{x^2} - x

Câu hỏi số 642776:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên \(x\) là nghiệm của bất phương trình \({\log _3}\left( {\dfrac{{\sqrt {{x^2} - x + 4} + 1}}{{27}}} \right) + {\log _5}{\left( {{x^2} - x + 5} \right)^2} \le 0\)?

A. 5.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642776

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá.

Giải chi tiết

Xét \({\log _3}\left( {\dfrac{{\sqrt {{x^2} - x + 4} + 1}}{{27}}} \right) + {\log _5}{\left( {{x^2} - x + 5} \right)^2} \le 0\) (*)

Đặt \(\sqrt {{x^2} - x + 4} = t,\,\,t > 0\).

(*) \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {\dfrac{{t + 1}}{{27}}} \right) + {\log _5}{\left( {{t^2} + 1} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {t + 1} \right) + 2{\log _5}\left( {{t^2} + 1} \right) - 3 \le 0\).

Xét \(f\left( t \right) = {\log _3}\left( {t + 1} \right) + 2{\log _5}\left( {{t^2} + 1} \right) - 3,t > 0\) có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{\left( {t + 1} \right)\ln 3}} + \dfrac{{4t}}{{\left( {{t^2} + 1} \right)\ln 5}} > 0,\forall t > 0\).

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Mà \(f\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow \) BPT (*) \( \Leftrightarrow t \le 2 \Rightarrow \sqrt {{x^2} - x + 4} \le 2 \Leftrightarrow {x^2} - x + 4 \le 4 \Leftrightarrow 0 \le x \le 1\).

Mà x là số nguyên \( \Rightarrow x \in \left\{ {0;1} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.