Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f'\left( x

Câu hỏi số 642785:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f'\left( x \right) + xf\left( x \right) = \dfrac{{2x}}{{{e^{{x^2}}}}},\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = - 2\). Tính \(f\left( { - 2} \right)\).

A. \(f\left( { - 2} \right) = \dfrac{{ - 2}}{{{e^4}}}\).

B. \(f\left( { - 2} \right) = \dfrac{2}{{{e^4}}}\).

C. \(f\left( { - 2} \right) = 4\).

D. \(f\left( { - 2} \right) = {e^2}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642785

Phương pháp giải

Tính nguyên hàm 2 vế, tìm hàm số f(x).

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) + xf\left( x \right) = \dfrac{{2x}}{{{e^{{x^2}}}}},\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}f'\left( x \right) + x{e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}f\left( x \right) = \dfrac{{2x}}{{{e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}}},\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}f\left( x \right)} \right)^\prime } = \dfrac{{2x}}{{{e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}}},\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow {e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}f\left( x \right) = \int {\dfrac{{2x}}{{{e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}}}} dx = \int {2x.{e^{ - \dfrac{{{x^2}}}{2}}}} dx\).

Đặt \(t = - \dfrac{{{x^2}}}{2} \Rightarrow dt = - xdx \Rightarrow \)\(\int {\dfrac{{2x}}{{{e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}}}} dx = - 2\int {{e^t}dt} = - 2{e^t} + C = - 2{e^{ - \dfrac{{{x^2}}}{2}}} + C\).

\( \Rightarrow {e^{\dfrac{{{x^2}}}{2}}}f\left( x \right) = - 2{e^{ - \dfrac{{{x^2}}}{2}}} + C \Rightarrow f\left( x \right) = - 2{e^{ - {x^2}}} + C.{e^{ - \dfrac{{{x^2}}}{2}}}\).

\(f\left( 0 \right) = - 2 \Rightarrow - 2 = - 2 + C \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow \)\(f\left( x \right) = - 2{e^{ - {x^2}}}\).

\( \Rightarrow f\left( { - 2} \right) = - 2{e^{ - 4}} = - \dfrac{2}{{{e^4}}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.