Cho các số phức \(u,v,w\) thỏa mãn \(\left| {u + 4 - 2i} \right| = 2,\left| {3v - 1 + i} \right| = \left| {2v +

Câu hỏi số 642786:

Vận dụng cao

Cho các số phức \(u,v,w\) thỏa mãn \(\left| {u + 4 - 2i} \right| = 2,\left| {3v - 1 + i} \right| = \left| {2v + 1 - i} \right|\) và \(\left| w \right| = \left| {\overline w + 2 + 2i} \right|\). Khi \(P = \left| {u - w} \right| + \left| {v - w} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\left| w \right|\) bằng

A. \(\dfrac{{\sqrt {13} }}{2}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt {17} }}{2}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642786

Phương pháp giải

Sử dụng hình học để đánh giá.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left| {u + 4 - 2i} \right| = 2 \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(A\) biểu diễn số phức \(u\) là đường tròn tâm \(I\left( { - 4;2} \right),{R_1} = 2\).

Ta có: \(\left| {3v - 1 + i} \right| = \left| {2v + 1 - i} \right|\mathop \Leftrightarrow \limits^{v = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)} \sqrt {{{\left( {3x - 1} \right)}^2} + {{\left( {3y + 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + {{\left( {2y - 1} \right)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow 9{x^2} - 6x + 1 + 9{y^2} + 6y + 1 = 4{x^2} + 4x + 1 + 4{y^2} - 4y + 1 \Leftrightarrow 5{x^2} - 10x + 5{y^2} + 10y = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + {y^2} + 2y = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2\).

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(B\) biểu diễn số phức \(v\) là đường tròn tâm \(J\left( {1; - 1} \right),{R_2} = \sqrt 2 \).

Ta có: \(\left| w \right| = \left| {\overline w + 2 + 2i} \right|\mathop \Leftrightarrow \limits^{w = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)} \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {a + 2} \right)}^2} + {{\left( { - b + 2} \right)}^2}} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^2} + 4a + 4 + {b^2} - 4b + 4\)

\( \Leftrightarrow 4a - 4b + 8 = 0 \Leftrightarrow a - b + 2 = 0\).

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(C\) biểu diễn số phức \(w\) là đường thẳng \(d:y = x + 2\).

Ta có: \(P = \left| {u - w} \right| + \left| {v - w} \right| = AC + BC\)

\( \Rightarrow {P_{\min }}\) khi A, B, C nằm trên đoạn thẳng IJ (như hình vẽ).

Khi đó: C là giao điểm của IJ và đường thẳng d.

Do \(C \in d\) nên giả sử \(C\left( {c;c + 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IC} = \left( {c + 4;c} \right)\).

Do C nằm giữa I và J nên \(\overrightarrow {IC} = k\overrightarrow {IJ} \,\,\left( {0 < k < 1} \right)\,\,\,\left( {\overrightarrow {IJ} = \left( {5; - 3} \right)} \right) \Rightarrow \dfrac{{c + 4}}{5} = \dfrac{c}{{ - 3}} \Rightarrow - 3c - 12 = 5c \Leftrightarrow c = - \dfrac{3}{2}\)

\( \Rightarrow C\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right) \Rightarrow OC = \sqrt {\dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{4}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{2} = \left| w \right|\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.