Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi F(x), G(x) là hai nguyên hàm của \(f(x)\) trên

Câu hỏi số 643056:

Vận dụng

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi F(x), G(x) là hai nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(2F(11) + G(11) = 55\) và \(2F( - 1) + G( - 1) = 1\) Khi đó \(\int\limits_0^2 {x\left( {2 + f\left( {3{x^2} - 1} \right)} \right){\rm{d}}x} \) bằng

A. 7.

B. 20.

C. 5.

D. 22.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:643056

Phương pháp giải

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

Giải chi tiết

Ta có \(\int_0^2 x \left( {2 + f\left( {3{x^2} - 1} \right)} \right){\rm{d}}x = \int_0^2 2 x\;{\rm{d}}x + \int_0^2 x f\left( {3{x^2} - 1} \right){\rm{d}}x = 4 + \int_0^2 x f\left( {3{x^2} - 1} \right){\rm{d}}x = 4 + I\).

Đặt \(t = 3{x^2} - 1 \Rightarrow dt = 6xdx \Rightarrow \dfrac{1}{6}dt = xdx\).

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = - 1;x = 2 \Rightarrow t = 11\).

Suy ra \(I = \dfrac{1}{6}\int_{ - 1}^{11} f (t){\rm{d}}t = \dfrac{1}{6}\int_{ - 1}^{11} f (x){\rm{d}}x = \dfrac{1}{6}(F(11) - F( - 1))\).

Vì \(F(x),G(x)\) là hai nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(\mathbb{R} \Rightarrow F(x) = G(x) + C\).

Suy ra \(F(11) - F( - 1) = G(11) - G( - 1)\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2F(11) + G(11) = 55}\\{2F( - 1) + G( - 1) = 1}\end{array} \Rightarrow 2(F(11) - F( - 1)) + G(11) - G( - 1) = 54} \right.\)

\( \Rightarrow 3(F(11) - F( - 1)) = 54 \Rightarrow F(11) - F( - 1) = 18\).

Suy ra \(I = 3\).

Vậy \(\int_0^2 x \left( {2 + f\left( {3{x^2} - 1} \right)} \right){\rm{d}}x = 4 + 3 = 7\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.