Xét tính tăng giảm của các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau:a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}

Câu hỏi số 648529:

Vận dụng

Xét tính tăng giảm của các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau:

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + (n + 1){2^n}}\end{array}} \right.\)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_n} = 1}\\{{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1}\end{array}} \right.\)

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_3} = 5}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} - 3n + 2}\end{array}} \right.\)

d) \({u_n} = \dfrac{{{3^n}}}{{{2^{n + 1}}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:648529

Phương pháp giải

Phương pháp 1: Xét dấu của hiệu số \({u_{n + 1}} - {u_n}\).

- Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

- Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Phương pháp 2: Nếu \({u_n} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì ta có thể so sánh thương \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) với 1.

- Nếu \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

- Nếu \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 1\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Nếu \({u_n} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì ta có thể so sánh thương \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) với 1.

- Nếu \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 1\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

- Nếu \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Giải chi tiết

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + (n + 1){2^n}}\end{array}} \right.\)

ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = (n + 1) \cdot {2^n} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

\( \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_n} = 1}\\{{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1}\end{array}} \right.\)

ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} + 1 > 0\)

(vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_n} = {u_{n - 1}}}\\{{u_n} = 1}\end{array}} \right.\))

\( \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_3} = 5}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} - 3n + 2}\end{array}} \right.\)

ta có : \({u_{n + 1}} - {u_n} = - 3n + 2 < 0\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

\( \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

d) \({u_n} = \dfrac{{{3^n}}}{{{2^{n + 1}}}}\)

taw \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 2}}}} \cdot \dfrac{{{3^n}}}{{{2^{n + 1}}}} = \dfrac{3}{2} > 1\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

\( \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.