Xác định số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân sau biết: a) \(\left\{

Câu hỏi số 648530:

Vận dụng

Xác định số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân sau biết:

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 11}\\{{u_1} + {u_5} = \dfrac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right..\)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 15}\\{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 85}\end{array}} \right.\)

\({\rm{c) }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_3} = 3}\\{{u_1}^2 + {u_3}^2 = 5}\end{array}} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:648530

Phương pháp giải

Đưa dữ kiện đề bài về hết \({u_1}\) và \(q\) để giải tìm chúng.

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội q \( \Rightarrow {u_k} = {u_1}.{q^{k - 1}}\)

Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\)được xác định bởi công thức : \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}\dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}} = {u_1}\dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)

Giải chi tiết

a) Gọi \(q\) là công bội của cấp số. Khi đó ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_2} + {u_3} + {u_4} = \dfrac{{39}}{{11}}}\\{{u_1} + {u_5} = \dfrac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3}} \right) = \dfrac{{39}}{{11}}}\\{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = \dfrac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\)

Suy ra: \(\dfrac{{{q^4} + 1}}{{{q^3} + {q^2} + q}} = \dfrac{{82}}{{39}} \Leftrightarrow 39{q^4} - 82{q^3} - 82{q^2} - 82q + 39 = 0\)

\( \Leftrightarrow (3q - 1)(q - 3)(13{q^2} + 16q + 13) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = \dfrac{1}{3}}\\{q = 3}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{q = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {u_1} = \dfrac{{81}}{{11}}}\\{q = 3 \Rightarrow {u_1} = \dfrac{1}{{11}}}\end{array}} \right.\)

Vậy \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{q = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {u_1} = \dfrac{{81}}{{11}}}\\{q = 3 \Rightarrow {u_1} = \dfrac{1}{{11}}}\end{array}} \right.\).

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 15}\\{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 85}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(Hpt \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}(1 + q + {q^2} + {q^3}) = 15}\\{u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}\dfrac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}} = 15}\\{u_1^2\dfrac{{{q^8} - 1}}{{{q^2} - 1}} = 85}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow {{\left( {\dfrac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}}} \right)}^2}\left( {\dfrac{{{q^2} - 1}}{{{q^8} - 1}}} \right) = \dfrac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \dfrac{{({q^4} - 1)(q + 1)}}{{(q - 1)({q^4} + 1)}} = \dfrac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow 28{q^5} - 62{q^4} + 62q - 28 = 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {q - 1} \right)\left( {q - 2} \right)\left( {2q - 1} \right)\left( {14{q^2} + 18q + 14} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = 2}\\{q = \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \:\:\left( {q \ne 1} \right)}\\{ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = 2,{u_1} = \dfrac{{15.\left( {2 - 1} \right)}}{{{2^4} - 1}} = 1}\\{q = \dfrac{1}{2},{u_1} = \dfrac{{15.\left( {\dfrac{1}{2} - 1} \right)}}{{{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^4} - 1}} = 8}\end{array}} \right..}\end{array}\)

Vậy \({u_1} = 1,q = 2;\)và \(\;{u_1} = 8,q = \dfrac{1}{2}\).

\({\rm{c) }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_3} = 3}\\{{u_1}^2 + {u_3}^2 = 5}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}\left( {1 + {q^2}} \right) = 3}\\{u_1^2\left( {1 + {q^a}} \right) = 5}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow {u_1} = \dfrac{3}{{1 + {q^2}}}\)

\( \Rightarrow {\left( {\dfrac{3}{{1 + {q^2}}}} \right)^2}\left( {1 + {q^4}} \right) = 5\)

\( \Leftrightarrow \quad 3\left( {1 + {q^4}} \right) = 5\left( {1 + 2{q^2} + {q^4}} \right){\rm{ }}\)

\( \Leftrightarrow \quad 4{q^4} - 10{q^2} + 4 = 0{\rm{ }}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} = 2}\\{{a^2} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = 1\sqrt 2 ,{u_1} = 1}\\{q = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }},{u_1} = 2}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy cấp số nhân có \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = 1\sqrt 2 ,{u_1} = 1}\\{q = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }},{u_1} = 2}\end{array}} \right.\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.