Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài hai tam giác ABD và ACE vuông cân tại B và E. Gọi H

Câu hỏi số 649006:

Vận dụng

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài hai tam giác ABD và ACE vuông cân tại B và E. Gọi H là giao điểm của AB và CD ; K là giao điểm của AC và BE. Chứng minh rằng:

a) \(AH = AK\)

b) \(A{H^2} = BH \cdot CK\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:649006

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(AH = AK = \dfrac{{AB \cdot AC}}{{AB + AC}}\)

b) Chứng minh \(\dfrac{{AH}}{{BH}} = \dfrac{{CK}}{{AK}}\)

Giải chi tiết

a)\(BD\parallel AC( \bot AB) \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{BH}} = \dfrac{{AC}}{{BD}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AH + BH}} = \dfrac{{AC}}{{BD + AC}} \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{{AC}}{{BD + AC}}\)

Mà BD = AB nên\(AH = \dfrac{{AB \cdot AC}}{{AB + AC}}\) (1)

\(AB\parallel CE( \bot AC) \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{KC}} = \dfrac{{AB}}{{CE}} \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{AK + KC}} = \dfrac{{AB}}{{BD + EC}} \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{BD + EC}}\)

Mà \({\rm{CE}} = {\rm{AC}}\) nên \(AK = \dfrac{{AB.AC}}{{AB + AC}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \({\rm{AH}} = {\rm{AK}}\).

b) \(BD\parallel AC \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{BH}} = \dfrac{{AC}}{{BD}}\) (3)

\(CE\parallel AB \Rightarrow \dfrac{{CK}}{{AK}} = \dfrac{{CE}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)

Mà \(AC = CE,BD = AB\).

Kết hợp với (3) và (4) ta có \(\dfrac{{AH}}{{BH}} = \dfrac{{CK}}{{AK}}\), suy ra \(A{H^2} = BH.CK\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link