Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài hai tam giác ABD và ACE vuông cân tại B và E. Gọi H
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài hai tam giác ABD và ACE vuông cân tại B và E. Gọi H là giao điểm của AB và CD ; K là giao điểm của AC và BE. Chứng minh rằng:
a) \(AH = AK\)
b) \(A{H^2} = BH \cdot CK\).
Quảng cáo
a) Chứng minh \(AH = AK = \dfrac{{AB \cdot AC}}{{AB + AC}}\)
b) Chứng minh \(\dfrac{{AH}}{{BH}} = \dfrac{{CK}}{{AK}}\)
a)\(BD\parallel AC( \bot AB) \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{BH}} = \dfrac{{AC}}{{BD}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AH + BH}} = \dfrac{{AC}}{{BD + AC}} \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{{AC}}{{BD + AC}}\)
Mà BD = AB nên\(AH = \dfrac{{AB \cdot AC}}{{AB + AC}}\) (1)
\(AB\parallel CE( \bot AC) \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{KC}} = \dfrac{{AB}}{{CE}} \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{AK + KC}} = \dfrac{{AB}}{{BD + EC}} \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{BD + EC}}\)
Mà \({\rm{CE}} = {\rm{AC}}\) nên \(AK = \dfrac{{AB.AC}}{{AB + AC}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \({\rm{AH}} = {\rm{AK}}\).
b) \(BD\parallel AC \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{BH}} = \dfrac{{AC}}{{BD}}\) (3)
\(CE\parallel AB \Rightarrow \dfrac{{CK}}{{AK}} = \dfrac{{CE}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)
Mà \(AC = CE,BD = AB\).
Kết hợp với (3) và (4) ta có \(\dfrac{{AH}}{{BH}} = \dfrac{{CK}}{{AK}}\), suy ra \(A{H^2} = BH.CK\).
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
