Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC (không song song với BC) cắt cạnh AB, AC

Câu hỏi số 649007:

Vận dụng cao

Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC (không song song với BC) cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:

a) $\dfrac{{AB}}{{AM}} + \dfrac{{AC}}{{AN}} = 3$;

b) $\dfrac{{BM}}{{AM}} + \dfrac{{CN}}{{AN}} = 1$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:649007

Phương pháp giải

Để tạo ra tỉ số $\dfrac{{AB}}{{AM}};\dfrac{{AC}}{{AN}}$ chúng ta cần vận dụng định lý Ta-let, mà hình vẽ chưa có yếu tố song song do vậy chúng ta cần kẻ thêm yếu tố song song. Kẻ đường thắng song song với MN từ B và C vừa khai thác được yếu tố trọng tâm, vừa tạo ra được tỉ số yêu cầu.

Giải chi tiết

a) Gọi giao điểm của $AG$ và $BC$ là $D \Rightarrow BD = CD$.

Kẻ $BI\parallel CK\parallel MN(I,K \in AD)$

Xét $\Delta BDI$ và $\Delta CDK$ có $BD = CD;\angle IBD = \angle KCD;\angle IDB = \angle KDC$

nên $\Delta BDI = \Delta CDK(\;{\rm{g}}{\rm{.}}c.g)$ $ \Rightarrow DI = DK$.

Áp dụng định lý Ta-lét, ta có $\dfrac{{AB}}{{AM}} = \dfrac{{AI}}{{AG}}$ (vì $MG\parallel BI$);

$\dfrac{{AC}}{{AN}} = \dfrac{{AK}}{{AG}}$ vì ${\rm{GN}}\parallel {\rm{CK}}$

Suy ra $\dfrac{{AB}}{{AM}} + \dfrac{{AC}}{{AN}} = \dfrac{{2.AD}}{{AG}} = 3$ (vì $\left. {AD = \dfrac{3}{2} \cdot AG} \right)$.

b) Xét $\dfrac{{BM}}{{AM}} = \dfrac{{GI}}{{AG}};\dfrac{{CN}}{{AN}} = \dfrac{{KG}}{{AG}}$

hay $\dfrac{{BM}}{{AM}} + \dfrac{{CN}}{{AN}} = \dfrac{{GI + GK}}{{AG}} = \dfrac{{2 \cdot GD}}{{AG}} = 1$

suy ra $\dfrac{{BM}}{{AM}} + \dfrac{{CN}}{{AN}} = 1$.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link