Cho tam giác ABC vuông tại A có G là trọng tâm, BM là đường phân giác. Biết rằng \(GM \bot AC\).

Câu hỏi số 649037:

Vận dụng

Cho tam giác ABC vuông tại A có G là trọng tâm, BM là đường phân giác. Biết rằng \(GM \bot AC\). Chứng minh rằng BM vuông góc với trung tuyến AD.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:649037

Phương pháp giải

Áp dụng hệ quả của định lý Ta let

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là giao điểm của BM và AD, H là trung điểm \(AC \Rightarrow DH\parallel AB\) và \(DH = \dfrac{1}{2}AB\) (vì DH là đường trung bình \(\Delta ABC\) ).

Lại có \(GM\parallel AB\) (cùng vuông góc với AC)

\( \Rightarrow GM\parallel DH\)

Xét \(\Delta ADH\)có \( \Rightarrow GM//DH\)

\( \Rightarrow \dfrac{{GM}}{{DH}} = \dfrac{{AG}}{{AD}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{GM}}{{DH}} = \dfrac{2}{3}.\)

Xét \(\Delta ABI\) có \(GM\parallel AB \Rightarrow \dfrac{{GI}}{{AI}} = \dfrac{{GM}}{{AB}} = \dfrac{{GH}}{{BH}} = \dfrac{1}{3}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{GI + AI}}{{AI}} = \dfrac{{A + 3}}{3} \Rightarrow AI = \dfrac{3}{4} \cdot AG = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot AD \Rightarrow AI = \dfrac{{AD}}{2} \Rightarrow I\) là trung điểm của A D.

\(\Delta ABD\) có BI vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến, suy ra \(\Delta ABD\) cân tại \(B\) nên BI vừa là đường cao vừa là đường phân giác. Do đó \(BM \bot AD\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link