Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm AD, N là trung điểm BC. Trên tia đối của tia DC lấy
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm AD, N là trung điểm BC. Trên tia đối của tia DC lấy điểm P, đường thẳng PM cắt AC tại Q và cắt BC tại S. Đường thẳng QN cắt DC tại R. Chứng minh rằng:
a) \(\Delta NPR\) là tam giác cân.
b) \(\dfrac{{MQ}}{{MP}} = \dfrac{{SQ}}{{SP}}\).
Quảng cáo
Áp dụng hệ quả của định lý Ta let
a) Ta có: \(CN\parallel DM;CN = DM\) và \(\angle NCD = {90^0}\) nên CDMN là hình chữ nhật
\( \Rightarrow MN\parallel CD\)
Gọi \(O\) là giao điểm của AC và MN.
Xét \(\Delta AOM\) và \(\Delta CON\) có:
\(AM = CN;\angle AMO = \angle CNO = {90^0};\angle MAO = \angle NCO\)
\( \Rightarrow \Delta AMO = \Delta CNO({\rm{ c}}{\rm{.g}}{\rm{.c }}) \Rightarrow MO = ON\)
Áp dụng hệ quả của định lý Ta let ta có \(MO\parallel CP\)\( \Rightarrow \dfrac{{MO}}{{CP}} = \dfrac{{QO}}{{QC}}\)
\(NO\parallel CR \Rightarrow \dfrac{{NO}}{{CR}} = \dfrac{{QO}}{{QC}}\)
Suy ra \(\dfrac{{NO}}{{CR}} = \dfrac{{MO}}{{CP}}\) mà \(MO = NO\) suy ra \(CR = CP\).
\(\Delta NRP\) có \(NC \bot PR,CR = CP\) nên \(\Delta NRP\) cân.
b) \(MN\parallel RP\) nên \(\angle QNM = \angle NRP,\angle MNP = \angle NPR\)
mà \(\angle NRP = \angle NPR \Rightarrow \angle QNM = \angle MNP \Rightarrow NM\) là tia phân giác QNP.
Ta có: \(NS \bot MN\) nên NS là tia phân giác góc ngoài đỉnh \(N\) của \(\Delta PNQ\).
Áp dụng tính chất đường phân giác trong và ngoài của \(\Delta NPQ\),
ta có: \(\dfrac{{MQ}}{{MP}} = \dfrac{{NQ}}{{NP}};\dfrac{{SQ}}{{SP}} = \dfrac{{NQ}}{{NP}} \Rightarrow \dfrac{{MQ}}{{MP}} = \dfrac{{SQ}}{{SP}}\).
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
