Cho một lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, =α, BC' hợp với đáy (ABC) một góc β. Gọi I là trung điểm của AA'. Biết rằng góc BIC là góc vuông 1. chứng tỏ rằng BIC là tam giác vuông cân (học sinh tự chứng minh) 2. Chứng minh rằng tan2α+tan2β=1

Câu hỏi số 6501:

Cho một lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, $\widehat{ABC}$ =α, BC' hợp với đáy (ABC) một góc β. Gọi I là trung điểm của AA'. Biết rằng góc BIC là góc vuông 1. chứng tỏ rằng BIC là tam giác vuông cân (học sinh tự chứng minh) 2. Chứng minh rằng tan²α+tan²β=1

A. IA²+AD²= $\frac{a^{2}}{4}$

B. IA²+AD²= $\frac{a^{2}}{9}$

C. IA²+AD²= $\frac{3a^{2}}{4}$

D. IA²+AD²= $\frac{a^{2}}{16}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:6501

Giải chi tiết

1. Đặt h=BB', a=B'C'. Gọi D là trung điểm BC. Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng nên các tam giác IAC và IAB đều vuông ở A và ta có

IB²=IA²+AB²; IC²=IA²+AC².

Theo giả thiết AB=AC nên IB=IC => tam giác IBC vuông cân.

2. Có BB'⊥(A'B'C') => BC là hình chiếu vuông góc của BC' xuống (ABC)

=> $\widehat{C'BC}$ =β => tan² β= $\frac{h^{2}}{a^{2}}$ . ∆ ABC cân ở A, D là trung điểm BC => AD⊥BC

=> tanα= $\frac{AD}{DB}$ = $\frac{2AD}{a}$ => tan²α= $\frac{4AD^{2}}{a^{2}}$

tan²α+tan² β= $\frac{h^{2}+4AD^{2}}{a^{2}}$ = $\frac{4AI^{2}+4AD^{2}}{a^{2}}$ = $\frac{4(AI^{2}+AD^{2})}{a^{2}}$

Mà tam giác IAD vuông cân ở A => IA²+AD²=ID².

∆IAB vuông cân ở I

=> ID= $\frac{BC}{2}$ = $\frac{a}{2}$ => IA²+AD²= $\frac{a^{2}}{4}$ => tan²α+tan² β=1 (đpcm)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.