Chứng minh rằng phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) luôn có nghiệm \(x \in \left[ {0;\dfrac{1}{3}}

Câu hỏi số 650208:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) luôn có nghiệm \(x \in \left[ {0;\dfrac{1}{3}} \right]\) với \(a \ne 0\) và \(2a + 6b + 19c = 0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:650208

Phương pháp giải

Nếu hàm \(f\) liên tục trên [a ; b] và \(f(a) \cdot f(b) < 0\) thì tồn tại ít nhất một điểm \(c \in (a;b)\) sao cho \(f(c) = 0\)

Giải chi tiết

Đặt \(f(x) = a{x^2} + bx + c \Rightarrow f(x)\) liên tục trên \({\rm{R}}\).

+) Nếu \(c = 0\) thì \(f(x) = 0\) có 2 nghiệm là \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = \dfrac{1}{3}}\end{array}} \right.\)

+) Nếu \(c \ne 0\), ta có \(f(0) = c;{\rm{f}}\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{a}{9} + \dfrac{b}{3} + c = \dfrac{1}{{18}}(2a + 6b + 18c) = - \dfrac{c}{{18}}\)

\( \Rightarrow f(0).{\rm{f}}\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = - \dfrac{{{c^2}}}{{18}} < 0\). Do đó \(f(x) = 0\) có nghiệm trong \(\left( {0;\dfrac{1}{3}} \right)\).

a) Ta có: \(f(0) = 1 - \cos 0 = 0\).

Lại có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt {x + 1} = 1}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (1 - \cos x)}\end{array}} \right.\) nên không tồn tại giới hạn hàm số tại \(x = 0\)

Vậy hàm số không liên tục tại \(x = 0\).

b) Ta có: \(f(1) = - 2 \cdot 1 = - 2\).

Lại có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} ( - 2x) = - 2}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {2 - x} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{(x - 1)(\sqrt {2 - x} + 1)}}{{(\sqrt {2 - x} - 1)(\sqrt {2 - x} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\sqrt {2 - x} + 1}}{{ - 1}} = - 2}\end{array}} \right.\)

Rõ ràng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1)\) nên hàm số liên tục tại \(x = 1\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.