Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:a) \(\left( {1 -

Câu hỏi số 650207:

Vận dụng

Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:

a) \(\left( {1 - {m^2}} \right){(x + 1)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\)

b) \(\cos x + m\cos 2x = 0\)

c) \(m(2\cos x - \sqrt 2 ) = 2\sin 5x + 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:650207

Phương pháp giải

Nếu hàm \(f\) liên tục trên [a ; b] và \(f(a) \cdot f(b) < 0\) thì tồn tại ít nhất một điểm \(c \in (a;b)\) sao cho \(f(c) = 0\)

Giải chi tiết

a) Xét \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m = - 1}\end{array}} \right.\). Phương trình có dạng \({x^2} - x - 3 = 0\) nên PT có nghiệm

Với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 1}\\{m \ne 1}\end{array}} \right.\) giả sử \(f(x) = \left( {1 - {m^2}} \right){(x + 1)^3} + {x^2} - x - 3\)

\(f(x)\) liên tục trên \({\rm{R}}\) nên \(f(x)\) liên tục trên \([ - 1;0]\)

Ta có \(f( - 1) = {m^2} + 1 > 0;{\rm{f}}(0) = - 1 < 0 \Rightarrow f( - 1).{\rm{f}}(0) < 0\)

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số \(m\).

b) Đặt \(f(x) = \cos x + m\cos 2x \Rightarrow f(x)\) liên tục trên \({\rm{R}}\)

Ta có \(f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} > 0;{\rm{f}}\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} < 0 \Rightarrow f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right).{\rm{f}}\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) < 0\)

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số \(m\)

c) Đặt \(f(x) = m(2\cos x - \sqrt 2 ) - 2\sin 5x - 1 \Rightarrow f(x)\) liên tục trên \({\rm{R}}\)

Ta có \(f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 - 1 < 0;f\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 - 1 > 0 \Rightarrow f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right).{\rm{f}}\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) < 0\)

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số \(m\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.