Trong không gian \(Oxyz\), xét mặt cầu \(\left( S \right)\). có tâm \(I\left( {3;7;12} \right)\) và bán

Câu hỏi số 652457:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), xét mặt cầu \(\left( S \right)\). có tâm \(I\left( {3;7;12} \right)\) và bán kính \(R\) thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(R\) sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) trong mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua \(O\) và góc giữa chúng không nhỏ hơn \({60^ \circ }\)?

A. 11.

B. 7.

C. 5.

D. 3.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:652457

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Để tồn tại tiếp tuyến thì mặt cầu \(\left( S \right)\) phải cắt hoặc tiếp xúc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) nên \(R \ge 3\).

Gọi \(J\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) ta có \(J\left( {0;7;12} \right)\) và \(IJ = 3\) và \(OJ = \sqrt {193} \).

Xét 2 tiếp tuyến đi qua \(O\) và tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại \(K,H\) như hình vẽ.

Từ đề bài ta có \(OJ \cdot {\rm{sin}}{60^ \circ } > r \ge OJ.{\rm{sin}}{30^ \circ } \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {193} }}{2} \le r < \sqrt {193} \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\), với \(r = JK = JH\).

Mà \(d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = IJ = 3\) nên:

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{\dfrac{{193}}{4} + {d^2}\left( {I,\left( {{\rm{\;Oyz\;}}} \right)} \right) \le {r^2} + {d^2}\left( {I,\left( {{\rm{\;Oyz\;}}} \right)} \right) < \dfrac{{579}}{4} + {d^2}\left( {I,\left( {{\rm{\;Oyz\;}}} \right)} \right)}\\{}&{\; \Leftrightarrow \dfrac{{193}}{4} + 9 \le {R^2} < \dfrac{{579}}{4} + 9 \Leftrightarrow \dfrac{{229}}{4} \le {R^2} < \dfrac{{615}}{4}}\\{}&{\; \Leftrightarrow 7,6 \approx \sqrt {\dfrac{{229}}{4}} \le R < \sqrt {\dfrac{{615}}{4}} \approx 12,4,{\rm{\;do\;}}R \in \mathbb{Z} \Rightarrow R \in \left\{ {8;9;10;11;12} \right\}.}\end{array}\)

Vậy, có 5 giá trị nguyên thỏa yêu cầu.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.