Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AB lấy điểm M (M khác
Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A, M khác B). Từ điểm M vẽ đường thẳng MN vuông góc với BC (N thuộc BC) , đường thẳng MN cắt đường thằng AC tại K .
1) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp.
2) Chứng minh \(\angle ABK = \angle ACM\).
3) Đoạn thẳng BK cắt đường tròn đường kính BM tại điểm D (D khác B). Gọi I là tâm và \(r\) là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác BKC . Chứng minh \(\dfrac{1}{r} = \dfrac{1}{{KN}} + \dfrac{1}{{CD}} + \dfrac{1}{{AB}}\).
Quảng cáo
1) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp.
Xét tứ giác AMNC có:
\(\angle CAM = {90^0}\) (\(\Delta ABC\) vuông tại A)
\(\angle CNM = {90^0}\) (do \(MN \bot AC\))
\( \Rightarrow \angle CAM + \angle CAN = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Suy ra tứ giác AMNC nội tiếp. (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
2) Chứng minh \(\angle ABK = \angle ACM\).
Vì AMNC là tứ giác nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle ACM = \angle ANM\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM) (1)
Xét tứ giác ANBK có: \(\angle KAB = \angle KNB = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\)
Mà hai góc này ở vị trí hai góc kề nhau cùng chắn BK.
=> ANBK là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle ABK = \angle ANK = \angle ANM\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle ABK = \angle ACM\,\,\left( {dpcm} \right)\).
3) Đoạn thẳng BK cắt đường tròn đường kính BM tại điểm D (D khác B). Gọi I là tâm và \(r\) là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác BKC . Chứng minh \(\dfrac{1}{r} = \dfrac{1}{{KN}} + \dfrac{1}{{CD}} + \dfrac{1}{{AB}}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}KN \bot BC\\AB \bot CK\\KN \cap AB = \left\{ M \right\}\end{array} \right. \Rightarrow M\) là trực tâm tam giác BCK.
\( \Rightarrow CM\) là đường cao thứ ba của tam giác BCK \( \Rightarrow CM \bot BK\).
Mà \(\angle MDB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow MD \bot BD \Rightarrow MD \bot BK\)
=> C, M, D thẳng hàng.
Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của I trên BK, BC, CK.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{\Delta BCK}} = {S_{\Delta IBK}} + {S_{\Delta IBC}} + {S_{\Delta ICK}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {IX.BK + IY.BC + IZ.CK} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = r.\dfrac{{BK + BC + CK}}{2}\end{array}\)
Mặt khác:
\(\begin{array}{l}{S_{\Delta BCK}} = \dfrac{1}{2}CD.BK = \dfrac{1}{2}KN.BC = \dfrac{1}{2}AB.CK\\ \Rightarrow BK = \dfrac{{2{S_{\Delta BCK}}}}{{CD}},\,\,BC = \dfrac{{2{S_{\Delta BCK}}}}{{KN}},\,\,CK = \dfrac{{2{S_{\Delta BCK}}}}{{AB}}\end{array}\)
Do đó ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{\Delta BCK}} = r.\dfrac{{\dfrac{{2{S_{\Delta BCK}}}}{{CD}} + \dfrac{{2{S_{\Delta BCK}}}}{{KN}} + \dfrac{{2{S_{\Delta BCK}}}}{{AB}}}}{2}\\ \Rightarrow {S_{\Delta BCK}} = r.\dfrac{{2{S_{\Delta BCK}}\left( {\dfrac{1}{{CD}} + \dfrac{1}{{KN}} + \dfrac{1}{{AB}}} \right)}}{2}\\ \Rightarrow 1 = r.\left( {\dfrac{1}{{CD}} + \dfrac{1}{{KN}} + \dfrac{1}{{AB}}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{r} = \dfrac{1}{{CD}} + \dfrac{1}{{KN}} + \dfrac{1}{{AB}}\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
