1. Rút gọn biểu thức \(B = \dfrac{{x\sqrt x - 1}}{{x - 1}} - \dfrac{x}{{\sqrt x + 1}} +

Câu hỏi số 656565:

Vận dụng

1. Rút gọn biểu thức \(B = \dfrac{{x\sqrt x - 1}}{{x - 1}} - \dfrac{x}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\).

2. Cho phương trình \({x^2} - 2mx + 4m - 4 = 0\,\,\left( 1 \right)\) (x là ẩn số, m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m = 3.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thoả mãn \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = 3\sqrt 2 \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:656565

Phương pháp giải

1) Phân tích mẫu số tìm mẫu số chung, quy đồng và rút gọn biểu thức

2a) Thay m = 3 và giải phương trình bậc hai

2b) Áp dụng hệ thức viet.

Giải chi tiết

1. Rút gọn biểu thức \(B = \dfrac{{x\sqrt x - 1}}{{x - 1}} - \dfrac{x}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\).

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,B = \dfrac{{x\sqrt x - 1}}{{x - 1}} - \dfrac{x}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}\\ \Leftrightarrow B = \dfrac{{x\sqrt x - 1 - x\left( {\sqrt x - 1} \right) + \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow B = \dfrac{{x\sqrt x - 1 - x\sqrt x + x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow B = \dfrac{{x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow B = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\end{array}\)

Vậy với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) thì \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\).

2. Cho phương trình \({x^2} - 2mx + 4m - 4 = 0\,\,\left( 1 \right)\) (x là ẩn số, m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m = 3.

Thay m = 3 vào phương trình (1) ta được: \({x^2} - 6x + 8 = 0\).

Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.8 = 1 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 3 + 1 = 4\\{x_2} = 3 - 1 = 2\end{array} \right.\).

Vậy khi m = 3 thì tập nghiệm của phương trình (1) là \(S = \left\{ {2;4} \right\}\).

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thoả mãn \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = 3\sqrt 2 \).

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thoả mãn \(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = 3\sqrt 2 \) thì

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1} \ge 0\\{x_2} \ge 0\\\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = 3\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 4 > 0\\{x_1} + {x_2} \ge 0\\{x_1}{x_2} \ge 0\\{\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = 18\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} > 0\\2m \ge 0\\4m - 4 \ge 0\\{x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\m \ge 0\\m \ge 1\\2m + 2\sqrt {4m - 4} = 18\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 1,\,\,m \ne 2\\m + 2\sqrt {m - 1} = 9\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(t = \sqrt {m - 1} \,\,\left( {t \ge 0,\,\,t \ne 1} \right)\) \( \Rightarrow {t^2} = m - 1 \Leftrightarrow m = {t^2} + 1\)

Khi đó phương trình (*) trở thành \({t^2} + 1 + 2t = 9 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 8 = 0\).

Ta có \(\Delta {'_t} = {1^2} - \left( { - 8} \right) = 9 > 0\) nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

\(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = - 1 + 3 = 2\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\{t_1} = - 1 - 3 = - 4\,\left( {Ktm} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = 2 \Rightarrow \sqrt {m - 1} = 2 \Leftrightarrow m - 1 = 4 \Leftrightarrow m = 5\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy m = 5.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link