1. Một dụng cụ gồm hai phần: một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón

Câu hỏi số 656567:

Vận dụng

1. Một dụng cụ gồm hai phần: một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón với các kích thước cho như hình vẽ bên.

a) Tính chiều cao của phần dụng cụ có dạng hình nón.

b) Tính thể tích dụng cụ đã cho (lấy \(\pi = 3,14\) ).

2. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm H nằm giữa O và B \((H \ne O;H \ne B)\), vẽ dây cung MN của đường tròn (O) vuông góc với AB tại H. Trên đường thẳng MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O) sao cho CM > CN. Đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O) tại điểm \(K\,\,\left( {K \ne A} \right)\). Hai dây cung MN và BK cắt nhau tại E.

a) Chứng minh tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh CM.CN = CK.CA.

c) Từ điểm N vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AC, đường thẳng này cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác KFN là tam giác cân.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:656567

Phương pháp giải

1. Áp dụng công thức tính thể tích hình nón, hình trụ

2. a) Tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\)

b) Chứng minh \(\Delta CKN\) và \(\Delta CMA\) đồng dạng

c) Chứng minh \(\angle NFK = \angle NKF\) từ đó suy ra tam giác cân.

Giải chi tiết

1. Một dụng cụ gồm hai phần: một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón với các kích thước cho như hình vẽ bên.

Chiều cao của phần dụng cụ có dạng hình nón là: \(190 - 70 = 120\,\,\,\left( {cm} \right).\)

b) Tính thể tích dụng cụ đã cho (lấy \(\pi = 3,14\) ).

Ta thấy đáy hình trụ có đường kính bằng 140cm nên bán kính \(r = 70\,\,\left( {cm} \right)\).

Thể tích phần dụng cụ có dạng hình nón là:

\({V_1} = \dfrac{1}{3}\pi .{r^2}.{h_1} = \dfrac{1}{3}.3,{14.70^2}.120 = 615\,\,440\,\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Thể tích phần dụng cụ có dạng hình trụ là:

\({V_2} = \pi .{r^2}.{h_2} = 3,{14.70^2}.70 = 1\,\,077\,\,020\,\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Thể tích dụng cụ đã cho là:

\(V = {V_1} + {V_2} = 615\,\,440\, + \,1\,\,077\,\,020 = 1\,692\,460\left( {c{m^3}} \right)\).

Ta có:

\(\angle AKE = \angle AKB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\angle AHE = {90^0}\) (do \(MN \bot AB\) tại H)

Xét tứ giác AHEK có: \(\angle AKE + \angle HE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Suy ra tứ giác AKEH nội tiếp đường tròn. (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\))

b) Chứng minh CM.CN = CK.CA.

Vì AKNM nội tiếp đường tròn (O) \( \Rightarrow \angle CNK = \angle CAM\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện).

Xét \(\Delta CKN\) và \(\Delta CMA\) có:

\(\begin{array}{l}\angle ACM\,\,chung\\\angle CNK = \angle CAM\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta CKN \sim \Delta CMA\,\,\left( {g.g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{CK}}{{CM}} = \dfrac{{CN}}{{CA}} \Rightarrow CM.CN = CK.CA\) (đpcm) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

c) Từ điểm N vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AC, đường thẳng này cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác KFN là tam giác cân.

Do \(NF \bot AC\left( {gt} \right),BK \bot AC\) (do \(\angle BKA = {90^0}\), góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow FN\parallel BK\) (từ vuông góc đến song song).

\( \Rightarrow \angle KNF = \angle BKN\) (hai góc so le trong bằng nhau) và \(\angle NFK = \angle BKM\) (hai góc đồng vị bằng nhau)

Do \(OB \bot MN\) tại H (giả thiết) nên H là trung điểm MN (tính chất đường kính vuông góc với dây cung)

Xét tam giác OMN có OH vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên tam giác OMN cân tại O

=> OH đồng thời là phân giác

(góc nội tiếp)

\( \Rightarrow \angle NKB = \angle BKM\) (hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

\( \Rightarrow NFK = \angle NKF\)

\( \Rightarrow \Delta KNF\) cân tại K (định nghĩa) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link