1. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn \(2{x^2} - x{y^2} - 2x + {y^2} + 5 = 0\).2. Biết a, b, c

Câu hỏi số 656568:

Vận dụng cao

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn \(2{x^2} - x{y^2} - 2x + {y^2} + 5 = 0\).

2. Biết a, b, c là ba số thực dương thoả mãn điều kiện: \(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c = 3\).

Chứng minh \(\sqrt {2{a^2} + 3ab + 2{b^2}} + \sqrt {2{b^2} + 3bc + 2{c^2}} + \sqrt {2{c^2} + 3ca + 2{a^2}} \ge 3\sqrt 7 \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:656568

Phương pháp giải

1. Phân tích biểu thức về dạng \(f\left( x \right).g\left( x \right) = m\)

2. Chứng minh \(\sqrt {2{a^2} + 3ab + 2{b^2}} = \sqrt {\dfrac{7}{4}{{\left( {a + b} \right)}^2} + \dfrac{1}{4}{{\left( {a - b} \right)}^2}} \ge \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}\left( {a + b} \right)\)

Giải chi tiết

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn \(2{x^2} - x{y^2} - 2x + {y^2} + 5 = 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,2{x^2} - x{y^2} - 2x + {y^2} + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2{x^2} - 2x} \right) - \left( {x{y^2} - {y^2}} \right) = - 5\\ \Leftrightarrow 2x\left( {x - 1} \right) - {y^2}\left( {x - 1} \right) = - 5\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2x - {y^2}} \right) = - 5\end{array}\)

Vì \(x,\,\,y\) là số nguyên nên \(x - 1\) và \(2x - {y^2}\) cũng là số nguyên

Do đó \(\left( {x - 1} \right)\left( {2x - {y^2}} \right) = - 5\) ta xét các trường hợp sau:

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 5\\2x - {y^2} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\12 - {y^2} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\{y^2} = 13\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 5\\2x - {y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\ - 8 - {y^2} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\{y^2} = - 7\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\2x - {y^2} = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\4 - {y^2} = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\{y^2} = 9 \Leftrightarrow y = \pm 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

TH4: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 1\\2x - {y^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\{y^2} = - 5\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy có 2 cặp số nguyên (x;y) thoả mãn là (2;3) và (2;-3).

2. Biết a, b, c là ba số thực dương thoả mãn điều kiện: \(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c = 3\).

Chứng minh \(\sqrt {2{a^2} + 3ab + 2{b^2}} + \sqrt {2{b^2} + 3bc + 2{c^2}} + \sqrt {2{c^2} + 3ca + 2{a^2}} \ge 3\sqrt 7 \).

Ta có:

\(\sqrt {2{a^2} + 3ab + 2{b^2}} = \sqrt {\dfrac{7}{4}{{\left( {a + b} \right)}^2} + \dfrac{1}{4}{{\left( {a - b} \right)}^2}} \ge \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}\left( {a + b} \right)\)

Tuơng tự ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {2{b^2} + 3bc + 2{c^2}} \ge \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}\left( {b + c} \right)\\\sqrt {2{c^2} + 3ca + 2{a^2}} \ge \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}\left( {c + a} \right)\end{array}\)

Cộng vế theo vế 3 bất phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt {2{a^2} + 3ab + 2{b^2}} + \sqrt {2{b^2} + 3bc + 2{c^2}} + \sqrt {2{c^2} + 3ca + 2{a^2}} \ge \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}\left( {a + b + b + c + c + a} \right)\\ \Rightarrow \sqrt {2{a^2} + 3ab + 2{b^2}} + \sqrt {2{b^2} + 3bc + 2{c^2}} + \sqrt {2{c^2} + 3ca + 2{a^2}} \ge \sqrt 7 \left( {a + b + c} \right) = 3\sqrt 7 \,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\\\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\3\sqrt a = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1\).

-----HẾT-----

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link