1. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn \(2{x^2} - x{y^2} - 2x + {y^2} + 5 = 0\).2. Biết a, b, c

Câu hỏi số 656568:

Vận dụng cao

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn \(2{x^2} - x{y^2} - 2x + {y^2} + 5 = 0\).

2. Biết a, b, c là ba số thực dương thoả mãn điều kiện: \(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c = 3\).

Chứng minh \(\sqrt {2{a^2} + 3ab + 2{b^2}} + \sqrt {2{b^2} + 3bc + 2{c^2}} + \sqrt {2{c^2} + 3ca + 2{a^2}} \ge 3\sqrt 7 \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:656568

Phương pháp giải

1. Phân tích biểu thức về dạng \(f\left( x \right).g\left( x \right) = m\)

2. Chứng minh \(\sqrt {2{a^2} + 3ab + 2{b^2}} = \sqrt {\dfrac{7}{4}{{\left( {a + b} \right)}^2} + \dfrac{1}{4}{{\left( {a - b} \right)}^2}} \ge \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}\left( {a + b} \right)\)

Giải chi tiết

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn \(2{x^2} - x{y^2} - 2x + {y^2} + 5 = 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,2{x^2} - x{y^2} - 2x + {y^2} + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2{x^2} - 2x} \right) - \left( {x{y^2} - {y^2}} \right) = - 5\\ \Leftrightarrow 2x\left( {x - 1} \right) - {y^2}\left( {x - 1} \right) = - 5\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2x - {y^2}} \right) = - 5\end{array}\)

Vì \(x,\,\,y\) là số nguyên nên \(x - 1\) và \(2x - {y^2}\) cũng là số nguyên

Do đó \(\left( {x - 1} \right)\left( {2x - {y^2}} \right) = - 5\) ta xét các trường hợp sau:

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 5\\2x - {y^2} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\12 - {y^2} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\{y^2} = 13\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 5\\2x - {y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\ - 8 - {y^2} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\{y^2} = - 7\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\2x - {y^2} = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\4 - {y^2} = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\{y^2} = 9 \Leftrightarrow y = \pm 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

TH4: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 1\\2x - {y^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\{y^2} = - 5\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy có 2 cặp số nguyên (x;y) thoả mãn là (2;3) và (2;-3).

2. Biết a, b, c là ba số thực dương thoả mãn điều kiện: \(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c = 3\).

Chứng minh \(\sqrt {2{a^2} + 3ab + 2{b^2}} + \sqrt {2{b^2} + 3bc + 2{c^2}} + \sqrt {2{c^2} + 3ca + 2{a^2}} \ge 3\sqrt 7 \).

Ta có:

\(\sqrt {2{a^2} + 3ab + 2{b^2}} = \sqrt {\dfrac{7}{4}{{\left( {a + b} \right)}^2} + \dfrac{1}{4}{{\left( {a - b} \right)}^2}} \ge \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}\left( {a + b} \right)\)

Tuơng tự ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {2{b^2} + 3bc + 2{c^2}} \ge \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}\left( {b + c} \right)\\\sqrt {2{c^2} + 3ca + 2{a^2}} \ge \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}\left( {c + a} \right)\end{array}\)

Cộng vế theo vế 3 bất phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt {2{a^2} + 3ab + 2{b^2}} + \sqrt {2{b^2} + 3bc + 2{c^2}} + \sqrt {2{c^2} + 3ca + 2{a^2}} \ge \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}\left( {a + b + b + c + c + a} \right)\\ \Rightarrow \sqrt {2{a^2} + 3ab + 2{b^2}} + \sqrt {2{b^2} + 3bc + 2{c^2}} + \sqrt {2{c^2} + 3ca + 2{a^2}} \ge \sqrt 7 \left( {a + b + c} \right) = 3\sqrt 7 \,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\\\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\3\sqrt a = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1\).

-----HẾT-----

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link