Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 2}

Câu hỏi số 656933:

Vận dụng cao

Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 6x + m} \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn \(\left[ { - 2023;2023} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 - x} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).

A. 2016.

B. 2014.

C. 2015.

D. 2010.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:656933

Phương pháp giải

Tính g’(x) theo x.

Để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 - x} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) thì \(g'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = - f'\left( {1 - x} \right)\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = - {\left( {1 - x} \right)^2}\left( {1 - x - 2} \right)\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2} - 6\left( {1 - x} \right) + m} \right]\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = - {\left( {1 - x} \right)^2}\left( { - x - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x - 5 + m} \right)\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = {\left( {1 - x} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 4x - 5 + m} \right)\end{array}\)

Để hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) thì \(g'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {1 - x} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 4x - 5 + m} \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - x = 0\\\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 4x - 5 + m} \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + 4x - 5 + m \ge 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\m \ge - {x^2} - 4x + 5 = h\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Xét \(h\left( x \right) = - {x^2} - 4x + 5\) trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) ta có \(h'\left( x \right) = - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 2.\)

BBT:

\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow m \ge 9\).

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\9 \le m \le 2023\end{array} \right.,\,\,m \in \mathbb{Z}\).

Vậy có 2016 giá trị nguyên m thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.