Có bao nhiêu bộ (x;y) với x, y nguyên và \(1 \le x,\,\,y \le 2023\) thoả mãn\(\left( {xy + 2x + 4y + 8}

Câu hỏi số 656934:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu bộ (x;y) với x, y nguyên và \(1 \le x,\,\,y \le 2023\) thoả mãn

\(\left( {xy + 2x + 4y + 8} \right){\log _3}\left( {\dfrac{{2y}}{{y + 2}}} \right) \le \left( {2x + 3y - xy - 6} \right){\log _2}\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}}} \right)\)

A. 2020.

B. 4040.

C. 2023.

D. 4046.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:656934

Phương pháp giải

Tính g’(x) theo x.

Để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 - x} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) thì \(g'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2y}}{{y + 2}} > 0\\\dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3\).

Ta có

\(\begin{array}{l}\left( {xy + 2x + 4y + 8} \right){\log _3}\left( {\dfrac{{2y}}{{y + 2}}} \right) \le \left( {2x + 3y - xy - 6} \right){\log _2}\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {y + 2} \right){\log _3}\left( {\dfrac{{2y}}{{y + 2}}} \right) \le \left( {2 - y} \right)\left( {x - 3} \right){\log _2}\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}}} \right)\end{array}\)

TH1: Với y = 1 ta có: \(3\left( {x + 4} \right){\log _3}\left( {\dfrac{2}{3}} \right) \le \left( {x - 3} \right){\log _2}\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}}} \right)\).

BPT vô số nghiệm (luôn đúng) do \(\left\{ \begin{array}{l}VT = 3\left( {x + 4} \right){\log _3}\left( {\dfrac{2}{3}} \right) < 0\,\,\forall x > 3\\VP = \left( {x - 3} \right){\log _2}\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}}} \right) > 0\,\,\forall x > 3\end{array} \right.\).

=> BPT có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {x;1} \right)\,\,\forall x > 3\). Kết hợp điều kiện \(1 \le x,\,\,y \le 2023\) nên có 2020 bộ (x;y) nguyên thoả mãn.

TH2: Với y = 2 ta có: \(4\left( {x + 4} \right){\log _3}1 \le 0 \Leftrightarrow 0 \le 0\) (luôn đúng)

=> BPT có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {x;2} \right)\,\,\forall x > 3\). Kết hợp điều kiện \(1 \le x,\,\,y \le 2023\) nên có 2020 bộ (x;y) nguyên thoả mãn.

TH3: Với y > 2 ta có: \(2y = y + y > y + 2 \Rightarrow \dfrac{{2y}}{{y + 2}} > 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow VT = \left( {x + 4} \right)\left( {y + 2} \right){\log _3}\left( {\dfrac{{2y}}{{y + 2}}} \right) > 0\,\,\forall x > 3\\\,\,\,\,\,\,VP = \left( {2 - y} \right)\left( {x - 3} \right){\log _2}\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}}} \right) < 0\,\,\forall x > 3\end{array}\)

Mà VT < VP nên bất phương trình vô nghiệm.

Vậy bất phương trình đã cho có tất cả 2020 + 2020 = 4040 nghiệm thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.