Cho khối nón đỉnh S, chiều cao bằng 7 và thể tích bằng \(\dfrac{{175\pi }}{3}\). Gọi A và B là hai

Câu hỏi số 656935:

Vận dụng cao

Cho khối nón đỉnh S, chiều cao bằng 7 và thể tích bằng \(\dfrac{{175\pi }}{3}\). Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho AB = 6. Gọi \(\varphi \) là góc tạo bởi giữa trục của hình nón với mặt phẳng (SAB). Tính \(\sin \varphi \).

A. \(\dfrac{{7\sqrt {65} }}{{65}}\).

B. \(\dfrac{{4\sqrt {65} }}{{65}}\).

C. \(\dfrac{4}{7}\).

D. \(\dfrac{3}{7}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:656935

Phương pháp giải

+ Gọi O là tâm mặt đáy. Tính OA, SA.

+ Gọi I là trung điểm của AB, trong (SOI) kẻ \(OH \bot SI\). Chứng minh SH là hình chiếu vuông góc của SO lên (SAB) và xác định góc \(\varphi \).

+ Tính \(\sin \varphi \) trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

Gọi O là tâm mặt đáy ta có SO = 7.

Thể tích khối nón:

\(\begin{array}{l}V = \dfrac{1}{3}\pi .O{A^2}.SO = \dfrac{{175\pi }}{3}\\ \Rightarrow O{A^2}.7 = 175\\ \Rightarrow OA = 5\end{array}\)

Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow OI \bot AB\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Trong (SOI) kẻ \(OH \bot SI\). Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OI\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow AB \bot OH\).

\(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AB\\OH \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right)\)

=> SH là hình chiếu vuông góc của SO lên (SAB)

\( \Rightarrow \left( {SO,\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {SO,SH} \right) = \angle OSH = \angle OSI = \varphi \).

Xét tam giác vuông SOI, vuông tại O ta có \(\sin \varphi = \dfrac{{OI}}{{SI}}\,\,\left( * \right)\).

Ta có: OA = 5 (cmt), AB = 6 => AI = 3.

Xét tam giác vuông OAI: \(OI = \sqrt {O{A^2} - A{I^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\).

Lại có: SO = 7, OA = 5 \( \Rightarrow SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}} = \sqrt {74} \).

Xét tam giác vuông SAI: \(SI = \sqrt {S{A^2} - A{I^2}} = \sqrt {74 - {3^2}} = \sqrt {65} \).

Thay vào (*) \( \Rightarrow \sin \varphi = \dfrac{{OI}}{{SI}} = \dfrac{4}{{\sqrt {65} }} = \dfrac{{4\sqrt {65} }}{{65}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.