Cho hình bình hành ABCD có \(BC = 2AB\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, ADa) Chứng minh

Câu hỏi số 657782:

Vận dụng cao

Cho hình bình hành ABCD có \(BC = 2AB\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD

a) Chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành.

b) Gọi \(P\) là giao điểm của AM và BN, Q là giao điểm của CN và DM. Chứng minh tứ giác PMQN là hình chữ nhật.

c) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác PMQN là hình vuông.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:657782

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác MBND có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.

b) CMTT được: MCNA là hình bình hành.

Chứng minh tứ giác PMQN có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành.

Chứng minh hình bình hành PMQN có \(\angle MPN = {90^\circ }\) là hình chữ nhật.

c) Để hình chữ nhật PMQN là hình vuông thì \(PM = PN\)

Từ đó chứng minh hình bình hành ABCD là hình chữ nhật có \(BC = 2AB\) thì PMQN là hình vuông

Giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình bình hành \( \Rightarrow BC\parallel AD\) và \(BC = AD;AB = CD\)

Mà M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD và \(BC = 2AB\)

Do đó \(MB = MC = NA = ND = AB = CD\) (1)

Tứ giác MBND có \(MB\parallel ND\) và \(MB = ND\) nên là hình bình hành.

b) CMTT được: MCNA là hình bình hành.

Do MBND và MCDA đều là hình bình hành nên \(PN\parallel MQ,PM\parallel NQ\).

Suy ra tứ giác PMQN là hình bình hành.

Dễ dàng chứng minh: \(\Delta ABN = \Delta MNB{\rm{ (c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}} \Rightarrow {\rm{ }}AB = MN\) (2)

Từ (1), (2) \( \Rightarrow AB = BM = MN = AN\)

\( \Rightarrow \) ABMN là hình thoi \( \Rightarrow AM \bot BN\)

Hình bình hành PMQN có \(\angle MPN = {90^\circ }\) nên PMQN là hình chữ nhật.

c) Để hình chữ nhật PMQN là hình vuông thì \(PM = PN\).

Mà ABMN là hình thoi \( \Rightarrow \) AM, BN cắt nhau tại trung điểm \(P\) của mỗi đường

Mà \(PM = PN\)\( \Rightarrow \)\(AM = BN\)

Hình bình hành ABMN có AM = BN nên ABMN là hình chữ nhật.

Suy ra \(\angle ABM = {90^\circ }\) hay \(\angle ABC = {90^\circ }\).

Hình bình hành ABCD có \(\angle ABC = {90^\circ }\) nên ABCD là hình chữ nhật.

Vậy hình bình hành ABCD là hình chữ nhật có \(BC = 2AB\) thì PMQN là hình vuông

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link