Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hai đường cao của tam giác ABC và AD, BE cắt nhau tại H.a) Chứng
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hai đường cao của tam giác ABC và AD, BE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh HA.HD = HB.HE.
c) Gọi điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE. Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
Quảng cáo
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hai đường cao của tam giác ABC và AD, BE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\angle HDC = {90^0}\,\,\left( {do\,\,AD \bot BC} \right)\\\angle HEC = {90^0}\,\,\left( {do\,\,BE \bot AC} \right)\\ \Rightarrow \angle HDC + \angle HEC = {90^0} + {90^0} = {180^0}\end{array}\)
Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau của tứ giác CDHE.
=> CDHE là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)). (đpcm)
b) Chứng minh HA.HD = HB.HE.
Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta BHD\) có:
\(\angle AEH = \angle BDH = {90^0}\,\,\left( {do\,\,BE \bot AC,\,\,AD \bot BC} \right)\)
\(\angle AHE = \angle BHD\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta AHE \sim \Delta BHD\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{HA}}{{HB}} = \dfrac{{HE}}{{HD}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) \( \Rightarrow HA.HD = HB.HE\,\,\left( {dpcm} \right)\).
c) Gọi điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE. Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
Xét tứ giác nội tiếp CDHE có: \(\angle HEC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(\angle HEC\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.
\( \Rightarrow HC\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE.
\( \Rightarrow I\) là trung điểm của HC.
Gọi O là trung điểm của AB => O là tâm đường tròn đường kính AB.
Ta cần chứng minh \(OE \bot IE\) tại E.
Vì tam giác AEB vuông tại E có EO là trung tuyến ứng với cạnh huyền AB nên \(OE = \dfrac{1}{2}AB = OA = OB \Rightarrow E \in \left( O \right)\).
Vì tam giác ADB vuông tại D có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền AB nên \(OD = \dfrac{1}{2}AB = OA = OB \Rightarrow D \in \left( O \right)\)
Vì CDHE là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\angle ECH = \angle EDH \Rightarrow \angle ECI = \angle EDA\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE).
Mà \(\angle EDA = \angle EBA = \angle EBO\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EA của (O)).
\( \Rightarrow \angle ECI = \angle EBO\). (1)
Vì tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn tâm I đường kính HC nên IE = IC
\( \Rightarrow \Delta IEC\) cân tại I (định nghĩa)
\( \Rightarrow \angle ECI = \angle CEI\) (tính chất tam giác cân). (2)
Vì E thuộc (O) nên OB = OE
\( \Rightarrow \Delta OBE\) cân tại O (định nghĩa)
\( \Rightarrow \angle EBO = \angle BEO\) (tính chất tam giác cân). (3)
Từ (1), (2), (3)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle CEI = \angle BEO\\ \Rightarrow \angle CEI + \angle IEH = \angle BEO + \angle IEH\\ \Rightarrow \angle CEH = \angle IEO\\ \Rightarrow {90^0} = \angle IEO\end{array}\)
Vậy \(OE \bot IE\) tại E hay IE là tiếp tuyến của đường tròn (O) đường kính AB (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
