Cho hình lập phương \(ABCD \cdot A'B'C'D'\). Hình hộp chữ nhật \(MNPQ \cdot M'N'P'Q'\) có các đỉnh

Câu hỏi số 663077:

Vận dụng cao

Cho hình lập phương \(ABCD \cdot A'B'C'D'\). Hình hộp chữ nhật \(MNPQ \cdot M'N'P'Q'\) có các đỉnh thuộc các mặt của hình lập phương, đồng thời hai mặt \(\left( {MNN'M'} \right)\) và \(\left( {PQQ'P'} \right)\) chia đoạn \(A'C\) thành ba phần bằng nhau. Tỉ số thể tích của khối hộp chữ nhật \(MNPQ \cdot M'N'P'Q'\) và khối lập phương \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) là

A. \(\dfrac{2}{9}\).

B. \(\dfrac{1}{3}\).

C. \(\dfrac{1}{9}\).

D. \(\dfrac{4}{9}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:663077

Giải chi tiết

Đầu tiên ta chuẩn hóa hình lập phương \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) có cạnh bằng 1 .

Khi ấy ta suy ra: \(d = d\left( {\left( {MN{N^\prime }{M^\prime }} \right);\left( {PQ{Q^\prime }{P^\prime }} \right)} \right) = \dfrac{{{A^\prime }C}}{3} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Ta nhận thấy việc đồng thời hai mặt \(\left( {MN{N^\prime }{M^\prime }} \right)\) và \(\left( {PQ{Q^\prime }{P^\prime }} \right)\) chia đoạn thẳng \({A^\prime }C\) thành ba phần bằng nhau tương đương với các mặt phẳng \(\left( {A{B^\prime }{D^\prime }} \right)\) và \(\left( {{C^\prime }BD} \right)\) chia đoạn thẳng \({A^\prime }C\) thành ba phần bằng nhau nên ta suy ra: \(\left( {MN{N^\prime }{M^\prime }} \right) = \left( {{C^\prime }BD} \right)\) và \(\left( {PQ{Q^\prime }{P^\prime }} \right) = \left( {A{B^\prime }{D^\prime }} \right)\) như hình vẽ.

Khi ấy \(M{M^\prime }\parallel NN'\parallel C'E\) với \(E\) là trung điểm BD.

Tiếp đến do \(MNPQM{N^\prime }{P^\prime }{Q^\prime }\) là hình hộp chữ nhật nên ta đầy đủ dữ kiện để lập luận được: \(\overline {Q{M^\prime }} \overline {BD} = \left( {\overline {QM} + \overline {M{M^\prime }} } \right)\overline {BD} = 0\) tức \(Q{M^\prime } = B{B^\prime } = 1\), khi ấy ta suy ra \(M{M^\prime } = \sqrt {B{B^{\prime 2}} - {d^2}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Theo định lí Thales ta lại có: \(\dfrac{{B{M^\prime }}}{{BE}} = \dfrac{{M{M^\prime }}}{{{C^\prime }E}} = \dfrac{2}{3}\)

\( \Rightarrow {M^\prime }{N^\prime } = 2{M^\prime }E = \dfrac{2}{3}BE = \dfrac{1}{3}BD = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\)

Vậy tỉ số cần tìm là\({\rm{ }}\dfrac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{ABCDA'B'C'D'}}}} = d.M{M^\prime }M{N^\prime } = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \cdot \dfrac{{\sqrt 6 }}{3} \cdot \dfrac{{\sqrt 2 }}{3} = \dfrac{2}{9}{\rm{. }}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.