Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có \(AB = 1,BC = 2,AA' = 2\) (tham khảo hình bên). Khoảng

Câu hỏi số 663536:

Nhận biết

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có \(AB = 1,BC = 2,AA' = 2\) (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AD'\) và \(DC'\) bằng:

A. \( \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\).

B. \(\sqrt 2 \).

C. \( \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

D. \( \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:663536

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Cách 1:

Ta có

\(DC'//AB' \Rightarrow d\left( {DC';AD'} \right) = d\left( {DC';\left( {AB'D'} \right)} \right) = d\left( {C';\left( {AB'D'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {AB'D'} \right)} \right) = h\).

Lại có \(A'B',A'A,A'D\) đôi một vuông góc với nhau tại \(A'\) thì

\( \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{A'{B^{{\rm{'}}2}}}} + \dfrac{1}{{A'{D^{{\rm{'}}2}}}} + \dfrac{1}{{A{A^{{\rm{'}}2}}}} = \dfrac{1}{{{1^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}} \Rightarrow h = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Cách 2: Sử dụng tọa độ hóa

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với \(\overrightarrow {AB} \equiv \overrightarrow {Ox} ,\overrightarrow {AD} \equiv \overrightarrow {Oy} ,\overrightarrow {AA'} \equiv \overrightarrow {Oz} \).

Suy ra \(A\left( {0;0;0} \right),D'\left( {0;2;2} \right),C'\left( {1;2;2} \right),D\left( {0;2;0} \right)\).

Do \(AD'\) đi qua \(A\left( {0;0;0} \right)\) và nhận \(\vec u = \left( {0;1;1} \right)\) làm vec tơ chỉ phương.

Do \(DC'\) đi qua \(D\left( {0;2;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {u'} = \left( {1;0;2} \right)\) làm vec tơ chỉ phương.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AD'\) và \(DC'\) bằng:
\({d_{\left( {AD';DC'} \right)}} = \dfrac{{\left| {\left[ {\vec u;\overrightarrow {u'} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\vec u;\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = \dfrac{2}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Trong đó: \(\left[ {\vec u;\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {2;1; - 1} \right);\overrightarrow {AD} = \left( {0;2;0} \right)\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.