Trong không gian \(Oxyz\), xét mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;5;12} \right)\) và bán kính

Câu hỏi số 663552:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), xét mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;5;12} \right)\) và bán kính \(R\) thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(R\) sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) trong mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua \(O\) và góc giữa chúng không nhỏ hơn \({60^ \circ }\) ?

A. 4.

B. 2.

C. 10.

D. 6.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:663552

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Cách 1.

TH1: Mặt cầu \(\left( S \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) tại \(O \Rightarrow R = OI = \sqrt {178} \notin \mathbb{Z}\) (loại)

\({\rm{TH}}2\) : Mặt cầu \(\left( {\rm{S}} \right)\) cắt \(\left( {Oyz} \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn \(\left( {\rm{C}} \right)\) có bán kính là \(r\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) ta có \(H\left( {0;5;12} \right) \Rightarrow O{H^2} = 169\).

Ta có \({r^2} = {R^2} - 9\).

Mặt khác, \(A{B^2} = 4A{K^2} = 4 \cdot {\left( { \dfrac{{OA \cdot r}}{{OH}}} \right)^2} = \dfrac{{4O{A^2} \cdot {r^2}}}{{169}} \Rightarrow \dfrac{{A{B^2}}}{{O{A^2}}} = \dfrac{{4{r^2}}}{{169}} = \dfrac{{4\left( {{R^2} - 9} \right)}}{{169}}\)

Từ đó suy ra: \({\rm{cos}}\widehat {AOB} = \dfrac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2OA.OB}} = \dfrac{{2O{A^2} - A{B^2}}}{{2O{A^2}}} = 1 - \dfrac{{A{B^2}}}{{2O{A^2}}} = \dfrac{{187 - 2{R^2}}}{{169}}\)

Góc giữa hai đường thẳng \(\left( {OA,OB} \right) \in \left[ {{{60}^ \circ };{{90}^ \circ }} \right]\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{205}}{4} \le {R^2} \le \dfrac{{543}}{4} \Rightarrow R \in \left\{ {8;9;10;11} \right\}\).

Cách 2. Để tồn tại tiếp tuyến thì mặt cầu \(\left( S \right)\) phải cắt hoặc tiếp xúc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) nên \(R \ge 3\).

Gọi \(J\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) ta có \(J\left( {0;5;12} \right)\) và \(IJ = 3\) và \(OJ = 13\).

Xét 2 tiếp tuyến đi qua \(O\) và tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại \(K,H\) như hình vẽ.

Từ đề bài ta có \(OJ \cdot {\rm{sin}}{60^ \circ } \ge r \ge OJ \cdot {\rm{sin}}{30^ \circ } \Leftrightarrow \dfrac{{13}}{2} \le r \le \dfrac{{13\sqrt 3 }}{2}\), với \(r = JK = JH\).

Mà \(d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = IJ = 3\) nên:

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{ \dfrac{{169}}{4} + {d^2}\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) \le {r^2} + {d^2}\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) < \dfrac{{507}}{4} + {d^2}\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right)}\\{}&{\; \Leftrightarrow \dfrac{{169}}{4} + 9 \le {R^2} \le \dfrac{{507}}{4} + 9 \Leftrightarrow \dfrac{{205}}{4} \le {R^2} \le \dfrac{{543}}{4}}\\{}&{\; \Leftrightarrow \sqrt { \dfrac{{205}}{4}} \le R \le \sqrt { \dfrac{{543}}{4}} ,{\rm{\;do\;}}R \in \mathbb{Z} \Rightarrow R \in \left\{ {8;9;10;11} \right\}.}\end{array}\)

Vậy, có 4 giá trị nguyên thỏa yêu cầu

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.