Có bao nhiêu số tự nhiên \(m\) sao cho phương trình \(\left| {{4^x} - {2^{x + 2}} + m - 1} \right| = {2^{x +

Câu hỏi số 664706:

Vận dụng

Có bao nhiêu số tự nhiên \(m\) sao cho phương trình \(\left| {{4^x} - {2^{x + 2}} + m - 1} \right| = {2^{x + 1}} + 2\) có đúng 2 nghiệm thực phân biệt

A. 9.

B. 8.

C. 10.

D. 11.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:664706

Phương pháp giải

- Đặt \(t = {2^x} > 0\)

- Đưa về tìm \(m\) để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {{4^x} - {2^{x + 2}} + m - 1} \right| = {2^{x + 1}} + 2\\ \Leftrightarrow \left| {{4^x} - {{4.2}^x} + m - 1} \right| = {2.2^x} + 2\end{array}\)

Đặt \(t = {2^x} > 0\)

Khi đó phương trình trở thành \(\left| {{t^2} - 4t + m - 1} \right| = 2t + 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t^2} - 4t + m - 1 = 2t + 2\\{t^2} - 4t + m - 1 = - 2t - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t^2} - 6t - 3 = - m\,\,\left( 1 \right)\\{t^2} - 2t + 1 = - m\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỉ (1), (2) cho 2 nghiệm phân biệt dương

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 6t - 3,\,\,g\left( t \right) = {t^2} - 2t + 1,\,\,\forall t > 0\)

Ta có: \(f'\left( t \right) = 2t - 6\)

\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 3\)

Lại có: \(g'\left( t \right) = 2t - 2\)

\(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( t \right),\,\,g\left( t \right)\)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt thì

\(\left[ \begin{array}{l} - m > 1\\ - 12 < m < - 3\\m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\3 < m < 12\\m = 0\end{array} \right.\)

Mà \(m\) là số tự nhiên nên \(m \in \left\{ {0;4;5; \ldots ;11} \right\}\)

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.