Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn \(a < 5\) và hàm số \(f\left( x \right) =

Câu hỏi số 664707:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn \(a < 5\) và hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + {x^2} - 3\) có \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_\mathbb{R} = f\left( 0 \right)\)?

A. 0.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:664707

Phương pháp giải

- Xét \(a = 0,\,\,b = 0\), xét \(a = 0,\,\,b \ne 0\), \(a < 0,\,\,a > 0\)

- Sử dụng định lý về dấu của hàm số bậc hai

Giải chi tiết

Xét \(a = 0,\,\,b = 0\)

Khi đó \(f\left( x \right) = {x^2} - 3 \ge - 3 = f\left( 0 \right)\) (thỏa mãn)

Xét \(a = 0,\,\,b \ne 0\)

Khi đó \(f\left( x \right)\) là hàm bậc 3 nên không tồn tại giá trị nhỏ nhất trên \(\mathbb{R}\)

Xét \(a < 0\)

Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \) nên không tồn tại giá trị nhỏ nhất

Do đó \(a > 0\) mà \(a < 5,\,\,a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\)

Ta có:\(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_\mathbb{R} = f\left( 0 \right) = - 3 \Rightarrow f\left( x \right) \ge - 3,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a{x^4} + b{x^3} + {x^2} \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow a{x^2} + bx + 1 \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \Delta = {b^2} - 4a \le 0\\ \Leftrightarrow {b^2} \le 4a\end{array}\)

Với \(a = 1 \Rightarrow {b^2} \le 4 \Rightarrow - 2 \le b \le 2\). Suy ra có 5 cặp \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn

Với \(a = 2 \Rightarrow {b^2} \le 8 \Rightarrow - 2\sqrt 2 \le b \le 2\sqrt 2 \). Suy ra có 5 cặp \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn

Với \(a = 3 \Rightarrow {b^2} \le 12 \Rightarrow - 2\sqrt 3 \le b \le 2\sqrt 3 \Rightarrow - 3 \le b \le 3\,\,\left( {b \in \mathbb{Z}} \right)\). Suy ra có 7 cặp \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn

Với \(a = 4 \Rightarrow {b^2} \le 16 \Rightarrow - 4 \le b \le 4\). Suy ra có 9 cặp \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn

Vậy có 27 cặp số nguyên \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.