Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {0;0;2} \right)\) và \(B\left( {3;4;1} \right)\). Gọi

Câu hỏi số 664708:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {0;0;2} \right)\) và \(B\left( {3;4;1} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\) và mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 14 = 0\). Gọi \(M,\,\,N\) là hai điểm thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(MN = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(\mathcal{D} = AM + BN\) bằng

A. \(3\).

B. \(\sqrt {34} - 1\).

C. \(5\).

D. \(\sqrt {34} \).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:664708

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( {{S_1}} \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25,\,\,\left( {{S_2}} \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 16\)

Các điểm trên đường tròn giao tuyến là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\,\,\left( 1 \right)\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 16\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Lấy (1) – (2) ta được \(6z = 0 \Leftrightarrow z = 0\) hay đường tròn giao tuyến nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):z = 0 \Rightarrow \left( P \right) \equiv \left( {Oxy} \right)\)

Gọi \(O\left( {0;0;0} \right),\,\,H\left( {3;4;0} \right)\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\,\,B\) trên \(\left( {Oxy} \right)\)

Ta có: \(AO = 2,\,\,BH = 1\)

Ta có: \(AM + BN = \sqrt {A{O^2} + O{M^2}} + \sqrt {B{H^2} + H{N^2}} \ge \sqrt {{{\left( {AO + BH} \right)}^2} + {{\left( {OM + HN} \right)}^2}} \) (BĐT Minkovsky)

\( \Rightarrow AM + BN \ge \sqrt {9 + {{\left( {OM + HN} \right)}^2}} \)

Lại có: \(OM + HN + MN \ge OH = 5 \Rightarrow OM + HN \ge 4\)

\( \Rightarrow AM + BN \ge \sqrt {9 + {4^2}} = 5\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{AO}}{{OM}} = \dfrac{{BH}}{{HN}};\,\,O,M,N,H\) thẳng hàng

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.