Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = 3\) và \({\left( {z + 2i} \right)^4}\) là

Câu hỏi số 664710:

Thông hiểu

Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = 3\) và \({\left( {z + 2i} \right)^4}\) là số thực?

A. 6.

B. 5.

C. 3.

D. 4.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:664710

Phương pháp giải

- Đặt \(z = x + yi,\,\,x,y \in \mathbb{R}\)

- Sử dụng các dữ kiện để tìm \(x,\,\,y\)

Giải chi tiết

Đặt \(z = x + yi,\,\,x,y \in \mathbb{R}\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}{\left( {z + 2i} \right)^4} = {\left( {x + \left( {y + 2} \right)i} \right)^4} = {\left( {{x^2} - {{\left( {y + 2} \right)}^2} + 2x\left( {y + 2} \right)i} \right)^2}\\ = {\left[ {{x^2} - {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \right]^2} - 4{x^2}{\left( {y + 2} \right)^2} + 4x\left( {y + 2} \right)\left[ {{x^2} - {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \right]i\end{array}\)

Vì \({\left( {z + 2i} \right)^4}\) là số thực nên \(4x\left( {y + 2} \right)\left[ {{x^2} - {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 2\\{x^2} = {\left( {y + 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 2\\x = y + 2\\x = - y - 2\end{array} \right.\)

- Với \(x = 0 \Rightarrow z = yi\).

Khi đó \(\left| {yi - i} \right| = 3 \Rightarrow \left| {y - 1} \right| = 3 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 4\\y = - 2\end{array} \right.\)

- Với \(y = - 2 \Rightarrow z = x - 2i\)

Khi đó \(\left| {x - 3i} \right| = 3 \Rightarrow {x^2} + 9 = 9 \Rightarrow x = 0\)

- Với \(x = y + 2 \Rightarrow z = y + 2 + yi\)

Khi đó \(\left| {y + 2 + \left( {y - 1} \right)i} \right| = 3 \Rightarrow {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 9 \Rightarrow 2{y^2} + 2y - 4 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 0\end{array} \right.\)

- Với \(x = - y - 2 \Rightarrow z = - y - 2 + yi\)

Khi đó \(\left| { - y - 2 + \left( {y - 1} \right)i} \right| = 3 \Rightarrow {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 9 \Rightarrow 2{y^2} + 2y - 4 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 0\end{array} \right.\)

Vậy có 4 số phức thỏa mãn

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.