Cho hình chóp \(S \cdot ABCD\) có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AD = 2AB = 2a\). Cạnh bên \(SA = 2a\)

Câu hỏi số 665726:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S \cdot ABCD\) có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AD = 2AB = 2a\). Cạnh bên \(SA = 2a\) và vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Tính khoảng cách \(d\) từ \(S\) đến mặt phẳng \((AMN)\).

A. \(d = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

B. \(d = 2a\).

C. \(d = \dfrac{{3a}}{2}\).

D. \(d = a\sqrt 5 \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:665726

Phương pháp giải

Dựa vào tỉ lệ thể tích của hình chóp SAMN và SABD tính khoảng cách từ S đến (AMN)

Giải chi tiết

Ta có ABCD là hình chữ nhật nên \(BD = a\sqrt 5 \)

MN là đường trung bình của tam giác SBD nên \(MN = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\(\Delta SAB\) vuông tại A, trung tuyến AM nên \(AM = \dfrac{1}{2}SB = \dfrac{1}{2}a\sqrt 5 = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Tương tự \(AN = \dfrac{1}{2}SD = \dfrac{1}{2}.2a\sqrt 2 = \sqrt 2 a\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow p = \dfrac{{AM + AN + MN}}{2}\\ \Rightarrow {S_{\Delta AMN}} = \sqrt {p\left( {p - AM} \right)\left( {p - AN} \right)\left( {p - MN} \right)} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}{a^2}\\{S_{\Delta ABD}} = \dfrac{1}{2}AB.AD = {a^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABD}}}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}\\\dfrac{{{V_{SAMV}}}}{{{V_{SABD}}}} = \dfrac{{SA}}{{SA}}.\dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SD}} = \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow \dfrac{{{V_{SAMV}}}}{{{V_{SABD}}}} = \dfrac{{d\left( {S,\left( {AMN} \right)} \right).{S_{AMN}}}}{{d\left( {S,\left( {ABD} \right)} \right).{S_{\Delta ABD}}}} = \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{d\left( {S,\left( {AMN} \right)} \right)}}{{d\left( {S,\left( {ABD} \right)} \right)}}.\dfrac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{\Delta ABD}}}} = \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{d\left( {S,\left( {AMN} \right)} \right)}}{{2a}}.\dfrac{{\sqrt 6 }}{4} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow d\left( {S\left( {AMN} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}a\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.