Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\), thoả mãn \(f'\left( x \right) - f\left( x \right) = - 8 +

Câu hỏi số 666130:

Vận dụng cao

Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\), thoả mãn \(f'\left( x \right) - f\left( x \right) = - 8 + 16x - 4{x^2}\) và \(f\left( 0 \right) = 0\). Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và trục Ox quay quanh Ox.

A. \(\dfrac{{16}}{3}\pi \).

B. \(\dfrac{{16}}{3}\).

C. \(\dfrac{{256}}{{15}}\).

D. \(\dfrac{{256}}{{15}}\pi \).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:666130

Phương pháp giải

Nhân cả 2 vế của \(f'\left( x \right) - f\left( x \right) = - 8 + 16x - 4{x^2}\) với \({e^{ - x}}\), sử dụng công thức đạo hàm một tích \(uv' + u'v = \left( {uv} \right)'\) và sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế để tìm hàm số f(x).

Ứng dụng tích phân để tính thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x), đường thẳng x = a, x = b là: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) - f\left( x \right) = - 8 + 16x - 4{x^2}\\ \Leftrightarrow {e^{ - x}}f'\left( x \right) - {e^{ - x}}f\left( x \right) = {e^{ - x}}\left( { - 8 + 16x - 4{x^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {e^{ - x}}.f'\left( x \right) + f\left( x \right).\left( {{e^{ - x}}} \right)' = {e^{ - x}}\left( { - 8 + 16x - 4{x^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{e^{ - x}}f\left( x \right)} \right)' = {e^{ - x}}\left( { - 8 + 16x - 4{x^2}} \right)\end{array}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được: \({e^{ - x}}f\left( x \right) = \int {{e^{ - x}}\left( { - 8 + 16x - 4{x^2}} \right)dx} \) (*)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = - 8 + 16x - 4{x^2}\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {16 - 8x} \right)dx\\v = - {e^{ - x}}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow VP\left( * \right) = - {e^{ - x}}\left( { - 8 + 16x - 4{x^2}} \right) + \int {\left( {16 - 8x} \right){e^{ - x}}} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 16 - 8x\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - 8dx\\v = - {e^{ - x}}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \int {\left( {16 - 8x} \right){e^{ - x}}dx} = - {e^{ - x}}\left( {16 - 8x} \right) - \int {8{e^{ - x}}dx} = - {e^{ - x}}\left( {16 - 8x} \right) + 8{e^{ - x}} + C = - {e^{ - x}}\left( {8 - 8x} \right) + C\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow VP\left( * \right) = - {e^{ - x}}\left( { - 8 + 16x - 4{x^2}} \right) - {e^{ - x}}\left( {8 - 8x} \right) + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - {e^{ - x}}\left( { - 8 + 16x - 4{x^2} + 8 - 8x} \right) + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - {e^{ - x}}\left( {8x - 4{x^2}} \right) + C\end{array}\)

Thay vào (*) ta có: \({e^{ - x}}f\left( x \right) = - {e^{ - x}}\left( {8x - 4{x^2}} \right) + C\).

Theo đề bài: \(f\left( 0 \right) = 0\) nên thay x = 0 ta có: \(1.f\left( 0 \right) = - 1.0 + C \Leftrightarrow C = 0.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {e^{ - x}}f\left( x \right) = - {e^{ - x}}\left( {8x - 4{x^2}} \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right) = 4{x^2} - 8x\end{array}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Vậy thể tích cần tính là \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {4{x^2} - 8x} \right)}^2}dx} = \dfrac{{256}}{{15}}\pi \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.