Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A(1;0;0),

Câu hỏi số 666143:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A(1;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó b, c là các số thực dương. Biết rằng mp(P) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,y - z + 1 = 0\) và \(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \dfrac{1}{3}\). Khi đó tích 4bc bằng

A. \(1\).

B. \(\dfrac{1}{2}\).

C. \(2\).

D. \(\dfrac{1}{4}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:666143

Phương pháp giải

Viết phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (P) và tìm VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} \).

Tìm VTPT \(\overrightarrow {{n_Q}} \)

Vì \(\left( P \right) \bot \left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0\)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0\\d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\) tìm b, c.

Giải chi tiết

Phương trình mặt phẳng (P) là: \(\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\) nên mặt phẳng (P) có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,y - z + 1 = 0\) có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {0;1; - 1} \right)\).

Vì \(\left( P \right) \bot \left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0 \Rightarrow \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c} = 0 \Leftrightarrow b = c.\)

Ta có: \(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \dfrac{1}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}} }} = \dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}} = 3\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}} = 9\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} = 9\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{{b^2}}} = 8\\ \Leftrightarrow {b^2} = \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow b = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {do\,\,b > 0} \right)\\ \Rightarrow c = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Vậy \(4bc = 4.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = 1.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.