Cho lăng trụ tứ giác \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), góc \(\angle BAC =
Cho lăng trụ tứ giác \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), góc \(\angle BAC = {60^0}\). Biết \(AA' = A'B = A'D\) và cạnh bên \(AA'\) hợp với mặt phẳng đáy góc \({60^0}\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(CC'\) và \(BD\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Xác định hính chiếu A’ lên (ABCD) là trọng tâm \(\Delta ABD\)
Trong \(\left( {AA'C} \right)\) kẻ \(OI\parallel AA' \Rightarrow I\) là trung điểm của A’C
Ta có \(d\left( {CC',BD} \right) = d\left( {CC',\left( {IBD} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {IBD} \right)} \right)\)
Do \(AA' = A'B = A'D \Rightarrow \)Hình chiếu của A’ lên (ABCD) là H là trọng tâm \(\Delta ABD\)
\( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {AA',\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {AA',AH} \right) = \angle HAA' = {60^0}\)
Do đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), góc \(\angle BAC = {60^0}\) nên \(\Delta ABC\) đều cạnh a
\( \Rightarrow AC = a \Rightarrow AO = \dfrac{a}{2} \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AO = \dfrac{2}{3}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{a}{3}\)
\( \Rightarrow A'H = AH.\tan {60^0} = \dfrac{a}{3}.\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\( \Rightarrow AA' = \dfrac{{AH}}{{\cos {{60}^0}}} = \dfrac{2}{3}a\)
Trong \(\left( {AA'C} \right)\) kẻ \(OI\parallel AA' \Rightarrow I\) là trung điểm của A’C
Ta có \(d\left( {CC',BD} \right) = d\left( {CC',\left( {IBD} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {IBD} \right)} \right)\)
Kẻ \(CE \bot OI\), \(IH'\parallel A'H \Rightarrow IH' \bot \left( {ABCD} \right)\)
Do \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\A'H \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {AA'C} \right) \Rightarrow BD \bot CE\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CE \bot OI\\CE \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow CE \bot \left( {IBD} \right) \Rightarrow d\left( {C,IBD} \right) = CE\)
Xét \(\Delta IOC \Rightarrow IH'.OC = CE.OI \Rightarrow CE = \dfrac{{IH'.OC}}{{OI}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}a}} = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{4}\)
Vậy \(d\left( {CC',BD} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{4}\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
