Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết đồ thị hàm số \(y = f'\left( x

Câu hỏi số 666773:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 5;5} \right]\) là đường cong trong hình vẽ

Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 4x} \right) - {x^2} - 4x\) có bao nhiêu điểm cực trị trong khoảng \(\left( { - 5;1} \right)\)?

A. 6.

B. 7.

C. 4.

D. 5.

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

Tính \(g'\left( x \right)\) và giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

Sử dụng tương giao đồ thị hàm số tìm số nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

Kết luận số điểm cực trị của hàm số g(x) là số nghiệm bội lẻ của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = \left( {2x + 4} \right)f'\left( {{x^2} + 4x} \right) - 2x - 4\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {2x + 4} \right)\left[ {f'\left( {{x^2} + 4x} \right) - 1} \right]\end{array}\)

Giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\f'\left( {{x^2} + 4x} \right) = 1\end{array} \right.\).

Đặt \(t = {x^2} + 4x\).

Ta có \(t' = 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 2 \in \left( { - 5;1} \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 4;5} \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 4\\x = 0\\x = {x_0}\end{array} \right.\).

Do đó \(f'\left( t \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 4\\t = 0\\t = {x_0} \in \left( {1;5} \right)\end{array} \right.\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{\left( 1 \right)}\\{\left( 2 \right)}\\{\left( 3 \right)}\end{array}\).

Dựa vào BBT hàm số \(t = {x^2} + 4x\) ta thấy trên (-5;1) thì

Phương trình (1) có 1 nghiệm (nghiệm kép) \(x = - 2\)

Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt

Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:666773

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.