Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng (P) chứa cạnh BC cắt cạnh AD tại E. Biết góc giữa
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng (P) chứa cạnh BC cắt cạnh AD tại E. Biết góc giữa hai mặt phẳng (P) và (BCD) có số đo là \(\beta \) thoả mãn \(\tan \beta = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{7}\). Gọi thể tích của hai tứ diện ABCE và tứ diện BCDE lần lượt là \({V_1}\) và \({V_2}\). Tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{m}{n}\); m, n là các số nguyên dương và phân số \(\dfrac{m}{n}\) tối giản. Giá trị của \(m + n\) bằng
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
\(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{{V_{ABCE}}}}{{{V_{BCDE}}}} = \dfrac{{AE}}{{DE}}\)
Tính các tỉ số \(\dfrac{{GK}}{{AE}},\,\,\dfrac{{GK}}{{DE}}\). Sử dụng định lí Ta-lét.
Gọi G là trọng tâm \(\Delta BCD\) \( \Rightarrow AG \bot \left( {BCD} \right)\).
Gọi I là trung điểm của BC, gọi \(F = AG \cap IE\).
Trên cạnh EI lấy điểm K sao cho GK // AD.
Vì tam giác BCE đều cạnh a nên \(GI = \dfrac{1}{3}DI = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6},\,\,DG = 2DI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Xét tam giác vuông ADG có: \(AG = \sqrt {A{D^2} - D{G^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AG\\BC \bot GI\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AGI} \right) \Rightarrow BC \bot EI\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( {BCD} \right) = BC\\EI \subset \left( P \right),\,\,EI \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\\DI \subset \left( {BCD} \right),\,\,DI \bot BC\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \beta = \angle \left( {\left( P \right),\left( {BCD} \right)} \right) = \angle \left( {EI,DI} \right) = \angle EID\).
Xét tam giác FGI vuông tại G có: \(GF = GI.\tan \beta = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.\dfrac{{5\sqrt 2 }}{7} = \dfrac{{5a\sqrt 6 }}{{42}}\).
\( \Rightarrow AF = AG - GF = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} - \dfrac{{5a\sqrt 6 }}{{42}} = \dfrac{{3a\sqrt 6 }}{{14}}\).
\( \Rightarrow \dfrac{{GF}}{{AF}} = \dfrac{{\dfrac{{5a\sqrt 6 }}{{42}}}}{{\dfrac{{3a\sqrt 6 }}{{14}}}} = \dfrac{5}{9}\).
Vì GK // AD (theo cách dựng) \( \Rightarrow \dfrac{{GK}}{{AE}} = \dfrac{{GF}}{{AF}} = \dfrac{5}{9},\,\,\dfrac{{GK}}{{DE}} = \dfrac{{GI}}{{DI}} = \dfrac{1}{3}\).
\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{DE}} = \dfrac{{GK}}{{DE}}:\dfrac{{GK}}{{AE}} = \dfrac{1}{3}:\dfrac{5}{9} = \dfrac{3}{5}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{{V_{ABCE}}}}{{{V_{BCDE}}}} = \dfrac{{AE}}{{DE}} = \dfrac{3}{5} = \dfrac{m}{n}\\ \Rightarrow m = 3,\,\,n = 5 \Rightarrow m + n = 8.\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
