Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng (P) chứa cạnh BC cắt cạnh AD tại E. Biết góc giữa

Câu hỏi số 666774:

Vận dụng cao

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng (P) chứa cạnh BC cắt cạnh AD tại E. Biết góc giữa hai mặt phẳng (P) và (BCD) có số đo là \(\beta \) thoả mãn \(\tan \beta = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{7}\). Gọi thể tích của hai tứ diện ABCE và tứ diện BCDE lần lượt là \({V_1}\) và \({V_2}\). Tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{m}{n}\); m, n là các số nguyên dương và phân số \(\dfrac{m}{n}\) tối giản. Giá trị của \(m + n\) bằng

A. 13.

B. 11.

C. 9.

D. 8.

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

\(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{{V_{ABCE}}}}{{{V_{BCDE}}}} = \dfrac{{AE}}{{DE}}\)

Tính các tỉ số \(\dfrac{{GK}}{{AE}},\,\,\dfrac{{GK}}{{DE}}\). Sử dụng định lí Ta-lét.

Giải chi tiết

Gọi G là trọng tâm \(\Delta BCD\) \( \Rightarrow AG \bot \left( {BCD} \right)\).

Gọi I là trung điểm của BC, gọi \(F = AG \cap IE\).

Trên cạnh EI lấy điểm K sao cho GK // AD.

Vì tam giác BCE đều cạnh a nên \(GI = \dfrac{1}{3}DI = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6},\,\,DG = 2DI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Xét tam giác vuông ADG có: \(AG = \sqrt {A{D^2} - D{G^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AG\\BC \bot GI\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AGI} \right) \Rightarrow BC \bot EI\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( {BCD} \right) = BC\\EI \subset \left( P \right),\,\,EI \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\\DI \subset \left( {BCD} \right),\,\,DI \bot BC\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \beta = \angle \left( {\left( P \right),\left( {BCD} \right)} \right) = \angle \left( {EI,DI} \right) = \angle EID\).

Xét tam giác FGI vuông tại G có: \(GF = GI.\tan \beta = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.\dfrac{{5\sqrt 2 }}{7} = \dfrac{{5a\sqrt 6 }}{{42}}\).

\( \Rightarrow AF = AG - GF = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} - \dfrac{{5a\sqrt 6 }}{{42}} = \dfrac{{3a\sqrt 6 }}{{14}}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{GF}}{{AF}} = \dfrac{{\dfrac{{5a\sqrt 6 }}{{42}}}}{{\dfrac{{3a\sqrt 6 }}{{14}}}} = \dfrac{5}{9}\).

Vì GK // AD (theo cách dựng) \( \Rightarrow \dfrac{{GK}}{{AE}} = \dfrac{{GF}}{{AF}} = \dfrac{5}{9},\,\,\dfrac{{GK}}{{DE}} = \dfrac{{GI}}{{DI}} = \dfrac{1}{3}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{DE}} = \dfrac{{GK}}{{DE}}:\dfrac{{GK}}{{AE}} = \dfrac{1}{3}:\dfrac{5}{9} = \dfrac{3}{5}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{{V_{ABCE}}}}{{{V_{BCDE}}}} = \dfrac{{AE}}{{DE}} = \dfrac{3}{5} = \dfrac{m}{n}\\ \Rightarrow m = 3,\,\,n = 5 \Rightarrow m + n = 8.\end{array}\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:666774

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.