Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy, \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 2 \), \(\angle {BAC} = 135^0
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy, \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 2 \), \(\angle {BAC} = 135^0 \). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(SB\) và \(SC\), góc giữa \(\left( {AMN} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(30^0 \). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\), \(D\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(I\)
Chứng minh \(SD \bot \left( {AMN} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {\left( {AMN} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SD,SA} \right) = \angle {ASD} \Rightarrow \angle {ASD} = {30^0}\)
Từ đó tính độ dài các cạnh và thể tích khối chóp.
+) Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\), \(D\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(I\) (hình vẽ).
Khi đó \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABDC\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AD = 2R\\\angle {ABD} = \angle {ACD} = 90^0 \end{array} \right.\) (\(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)).
+) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}DB \bot AB\\DB \bot SA\end{array} \right.\) (vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\))
\( \Rightarrow BD \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow AM \bot BD\).
Từ giả thiết suy ra \(AM \bot \left( {SBD} \right)\) \( \Rightarrow SD \bot AM\left( 1 \right)\)
Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}DC \bot AC\\DC \bot SA\end{array} \right.\)\( \Rightarrow DC \bot \left( {SAC} \right)\)\( \Rightarrow DC \bot AN\).
Từ giả thiết suy ra \(AN \bot \left( {SCD} \right)\)\( \Rightarrow SD \bot AN\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(SD \bot \left( {AMN} \right)\).
+) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABC} \right)\\SD \bot \left( {AMN} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left( {\left( {AMN} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SD,SA} \right) = \angle {ASD} \Rightarrow \angle {ASD} = {30^0}\)
+) Xét \(\Delta ABC\) có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A = {a^2} + 2{a^2} - 2{a^2}\sqrt 2 \left( {\dfrac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right) = 5{a^2}\)
\( \Rightarrow BC = a\sqrt 5 \).
\(\dfrac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\)\( \Rightarrow 2R = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{{\sin {{135}^0}}} = a\sqrt {10} \)\(\)
\( \Rightarrow AD = a\sqrt {10} \)
+) Xét tam giác vuông \(SAD\) có \(\tan 30^0 = \dfrac{{AD}}{{SA}}\)
\( \Rightarrow SA = \dfrac{{AD}}{{\tan 30^0 }} = a\sqrt {30} \).
+) Ta có \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin A = \dfrac{1}{2}a.a\sqrt 2 .\sin 135^0 = \dfrac{{{a^2}}}{2}\) (đvdt).
Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SA = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}}}{2}.a\sqrt {30} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {30} }}{6}\) (đvtt).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
