Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(N,P\) là các điểm lần lượt thuộc các cạnh \(BC\) và

Câu hỏi số 667182:

Vận dụng cao

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(N,P\) là các điểm lần lượt thuộc các cạnh \(BC\) và \(CD\) sao cho \(BN = 3NC\) và \(DP = 3PC\). Mặt phẳng \(\left( {A'NP} \right)\) chia khối lập phương thành 2 phần có thể tích là \({V_1}\) và \({V_2}\), trong đó \({V_1} < {V_2}\). Tính tỷ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).

A. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{289}}{{383}}\).

B. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{289}}{{472}}\).

C. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{25}}{{47}}\).

D. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{25}}{{49}}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:667182

Phương pháp giải

\(\begin{array}{l}{V_1} = {V_{A'.AEF}} - {V_{M.DPF}} - {V_{Q.PNE}} = {V_{A'.AEF}} - 2.{V_{M.DPF}}\\ = \dfrac{1}{6}AA'.AF.AE - \dfrac{1}{6}DM.DF.DP - \dfrac{1}{6}BQ.BN.BE\end{array}\)

Giải chi tiết

Thiết diện của hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cắt bởi mặt phẳng \(\left( {A'NP} \right)\) là ngũ giác \(A'MPNB\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{PC}}{{PD}} = \dfrac{{CN}}{{DF}}\\BN = 3NC\end{array} \right. \Rightarrow DF = \dfrac{3}{4}AD \Rightarrow AF = \dfrac{7}{4}AD\)

Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{NC}}{{NB}} = \dfrac{{PC}}{{BE}}\\BN = 3NC\end{array} \right. \Rightarrow BE = \dfrac{3}{4}BC \Rightarrow AE = \dfrac{7}{4}BC\)

Ta lại có \(\dfrac{{FD}}{{FA}} = \dfrac{{DM}}{{AA'}} = \dfrac{3}{7} \Rightarrow DM = \dfrac{3}{7}AA'\), tương tự \(BQ = \dfrac{3}{7}AA'\)

\(\begin{array}{l}{V_1} = {V_{A'.AEF}} - {V_{M.DPF}} - {V_{Q.PNE}} = {V_{A'.AEF}} - 2.{V_{M.DPF}}\\ = \dfrac{1}{6}AA'.AF.AE - \dfrac{1}{6}DM.DF.DP - \dfrac{1}{6}BQ.BN.BE\\ = \dfrac{1}{6}AA'.\dfrac{7}{4}AD.\dfrac{7}{4}BC - \dfrac{1}{6}.\dfrac{3}{7}AA'.\dfrac{3}{4}AD.\dfrac{3}{4}DC - \dfrac{1}{6}.\dfrac{3}{7}AA'.\dfrac{3}{4}BC.\dfrac{3}{4}AB\\ = \dfrac{{49}}{{96}}V - \dfrac{9}{{224}}V - \dfrac{9}{{224}}V\\ = \dfrac{{289}}{{672}}V\\ \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{289}}{{383}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.