1) Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) \({x^4} - 3{x^2} - 4 = 0\) b) \(\left\{

Câu hỏi số 669062:

Thông hiểu

1) Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) \({x^4} - 3{x^2} - 4 = 0\)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = 3}\\{3x + 2y = 1}\end{array}} \right.\)

2) Cho phương trình \({x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - 4 = 0\), với \(m\) là tham số.

a) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Khi phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\), tìm tất cả các giá trị của \(m\) để biểu thức \(P = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} + {m^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:669062

Phương pháp giải

1) a) Giải PT bằng cách đặt ẩn, đưa về PT bậc hai một ẩn.

Sử dụng phương pháp tính nhẩm \(a - b + c = 0\) thì PT có một nghiệm là \( - 1\); nghiệm còn lại là \(\dfrac{{ - c}}{a}\)

b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

2) a) PT có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta ' > 0\)

Công thức \(\Delta ' = {\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^2} - a.c\)

b) PT có hai nghiệm khi \(\Delta ' \ge 0\)

Hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Biến đổi biểu thức đề bài

Giải chi tiết

1) Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) \({x^4} - 3{x^2} - 4 = 0\) (1)

Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\)

Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 3t - 4 = 0\)

Do \(a - b + c = 1 - \left( { - 3} \right) - 4 = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biết \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = - 1\left( {KTM} \right)\\{t_2} = - \dfrac{{ - 4}}{1} = 4\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = 4 \Rightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 2,2} \right\}\).

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = 3}\\{3x + 2y = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - 2y = 6\\3x + 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = 7\\2x - y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2x - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x,y} \right) = \left( {1,1} \right)\).

2) Cho phương trình \({x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - 4 = 0\), với \(m\) là tham số.

a) Xét \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 1\left( {{m^2} - 4} \right) = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 4 = 5 - 2m\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 5 - 2m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{2}\)

Vậy \(m < \dfrac{5}{2}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Để phương trình có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì \(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 5 - 2m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{5}{2}\)

Khi đó áp dụng hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 4\end{array} \right.\)

Ta có \(P = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} + {m^2}\)

\(\begin{array}{l} = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - {x_1}{x_2} + {m^2}\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} + {m^2}\\ = {\left( {2\left( {m - 1} \right)} \right)^2} - \left( {{m^2} - 4} \right) + {m^2}\\ = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - {m^2} + 4 + {m^2}\\ = 4{\left( {m - 1} \right)^2} + 4\end{array}\)

Do \({\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall m \Rightarrow 4{\left( {m - 1} \right)^2} + 4 \ge 4 \Rightarrow P \ge 4\)

Dấu bằng xảy ra khi m = 1 (thỏa mãn \(m \le \dfrac{5}{2}\))

Vậy \({P_{\min }} = 4\) khi m = 1.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link