1) Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) \({x^4} - 3{x^2} - 4 = 0\) b) \(\left\{

Câu hỏi số 669062:

Thông hiểu

1) Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) \({x^4} - 3{x^2} - 4 = 0\)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = 3}\\{3x + 2y = 1}\end{array}} \right.\)

2) Cho phương trình \({x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - 4 = 0\), với \(m\) là tham số.

a) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Khi phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\), tìm tất cả các giá trị của \(m\) để biểu thức \(P = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} + {m^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải

1) a) Giải PT bằng cách đặt ẩn, đưa về PT bậc hai một ẩn.

Sử dụng phương pháp tính nhẩm \(a - b + c = 0\) thì PT có một nghiệm là \( - 1\); nghiệm còn lại là \(\dfrac{{ - c}}{a}\)

b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

2) a) PT có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta ' > 0\)

Công thức \(\Delta ' = {\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^2} - a.c\)

b) PT có hai nghiệm khi \(\Delta ' \ge 0\)

Hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Biến đổi biểu thức đề bài

Giải chi tiết

1) Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) \({x^4} - 3{x^2} - 4 = 0\) (1)

Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\)

Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 3t - 4 = 0\)

Do \(a - b + c = 1 - \left( { - 3} \right) - 4 = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biết \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = - 1\left( {KTM} \right)\\{t_2} = - \dfrac{{ - 4}}{1} = 4\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = 4 \Rightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 2,2} \right\}\).

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = 3}\\{3x + 2y = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - 2y = 6\\3x + 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = 7\\2x - y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2x - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x,y} \right) = \left( {1,1} \right)\).

2) Cho phương trình \({x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} - 4 = 0\), với \(m\) là tham số.

a) Xét \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 1\left( {{m^2} - 4} \right) = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 4 = 5 - 2m\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 5 - 2m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{2}\)

Vậy \(m < \dfrac{5}{2}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Để phương trình có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì \(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 5 - 2m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{5}{2}\)

Khi đó áp dụng hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 4\end{array} \right.\)

Ta có \(P = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} + {m^2}\)

\(\begin{array}{l} = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - {x_1}{x_2} + {m^2}\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} + {m^2}\\ = {\left( {2\left( {m - 1} \right)} \right)^2} - \left( {{m^2} - 4} \right) + {m^2}\\ = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - {m^2} + 4 + {m^2}\\ = 4{\left( {m - 1} \right)^2} + 4\end{array}\)

Do \({\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall m \Rightarrow 4{\left( {m - 1} \right)^2} + 4 \ge 4 \Rightarrow P \ge 4\)

Dấu bằng xảy ra khi m = 1 (thỏa mãn \(m \le \dfrac{5}{2}\))

Vậy \({P_{\min }} = 4\) khi m = 1.

Xem lời giải

Câu hỏi:669062

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.