Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\), biết đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Khoảng

Câu hỏi số 671012:

Thông hiểu

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\), biết đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Khoảng cách từ tâm \(O\) của tam giác \(ABC\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng \(\dfrac{a}{6}\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\).

A. \(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{8}\).

B. \(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{{28}}\).

C. \(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).

D. \(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{{16}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671012

Phương pháp giải

Đưa khoảng cách từ O đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) về A, từ đó tính AA’ và thể tích hình trụ

Giải chi tiết

Diện tích đáy là \(B = {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Chiều cao là \(h = d\left( {\left( {ABC} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right) = AA'\).

Do tam giác \(ABC\) là tam giác đều nên \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC,H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(A'I\) ta có

\(AH \bot \left( {A'BC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right) = AH\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{d\left( {O;\left( {A'BC} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right)}} = \dfrac{{IO}}{{IA}} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow d\left( {O;\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{{d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right)}}{3} = \dfrac{{AH}}{3} = \dfrac{a}{6} \Rightarrow AH = \dfrac{a}{2}\end{array}\)

Xét tam giác \(A'AI\) vuông tại \(A\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{A^{{\rm{'}}2}}}} + \dfrac{1}{{A{I^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{A{A^{{\rm{'}}2}}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}} - \dfrac{1}{{A{I^2}}}\\ \Rightarrow AA' = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }} \Rightarrow h = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow {V_{ABC \cdot A'B'C'}} = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{{16}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.