Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\), biết đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Khoảng
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC \cdot A'B'C'\), biết đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Khoảng cách từ tâm \(O\) của tam giác \(ABC\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) bằng \(\dfrac{a}{6}\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Đưa khoảng cách từ O đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) về A, từ đó tính AA’ và thể tích hình trụ
Diện tích đáy là \(B = {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Chiều cao là \(h = d\left( {\left( {ABC} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right) = AA'\).
Do tam giác \(ABC\) là tam giác đều nên \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC,H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(A'I\) ta có
\(AH \bot \left( {A'BC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right) = AH\)
\(\begin{array}{l}\dfrac{{d\left( {O;\left( {A'BC} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right)}} = \dfrac{{IO}}{{IA}} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow d\left( {O;\left( {A'BC} \right)} \right) = \dfrac{{d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right)}}{3} = \dfrac{{AH}}{3} = \dfrac{a}{6} \Rightarrow AH = \dfrac{a}{2}\end{array}\)
Xét tam giác \(A'AI\) vuông tại \(A\) ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{A^{{\rm{'}}2}}}} + \dfrac{1}{{A{I^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{A{A^{{\rm{'}}2}}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}} - \dfrac{1}{{A{I^2}}}\\ \Rightarrow AA' = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }} \Rightarrow h = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow {V_{ABC \cdot A'B'C'}} = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{{16}}\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
