Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật \(AB = a,AD = 2a,SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy

Câu hỏi số 671014:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật \(AB = a,AD = 2a,SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BM\) và \(SD\).

A. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

B. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

C. \(\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

D. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671014

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Vì \(BM//DI\) nên \(BM//\left( {SDI} \right)\).

Do đó \(d\left( {BM,SD} \right) = d\left( {BM,\left( {SDI} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {SDI} \right)} \right)\).

Vì \(AD \cap \left( {SDI} \right) = D\) và \(M\) là trung điểm của \(AD\) nên \(d\left( {M,\left( {SDI} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A,\left( {SDI} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ \(AK \bot DI\left( {K \in DI} \right),AK \cap BM = J\).

Trong \(\left( {SAK} \right)\), kẻ \(AH \bot SK\left( {H \in SK} \right)\).

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{DI \bot AK}\\{DI \bot SA}\end{array} \Rightarrow DI \bot \left( {SAK} \right)} \right.\) mà \(AH \subset \left( {SAK} \right) \Rightarrow DI \bot AH\).

Suy ra \(AH \bot \left( {SDI} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SDI} \right)} \right) = AH\).

Ta có \(BM//DI \Rightarrow JM//DK\) và \(M\) là trung điểm của \(AD\) nên \(AK = 2AJ\).

Lại có \(\dfrac{1}{{A{J^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{M^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{2}{{{a^2}}}\).

Suy ra \(AJ = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow AK = a\sqrt 2 \).

Mặt khác \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{K^2}}} + \dfrac{1}{{S{A^2}}} = \dfrac{1}{{2{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Do đó \(d\left( {M,\left( {SDI} \right)} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot AH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.