Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(y = f'\left( {2x + 1}

Câu hỏi số 671132:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(y = f'\left( {2x + 1} \right)\) có bảng xét dấu như sau:

Có bao nhiêu số nguyên \(m \in \left[ { - 2023;2023} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^{2023}} + 2023x} \right| + m} \right)\) có ít nhất 5 điểm cực trị?

A. 2024.

B. 4048.

C. 4046.

D. 2023.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671132

Phương pháp giải

Đưa hàm số \(g\left( x \right) = h\left( {\left| x \right|} \right)\). Để hàm số \(g\left( x \right) = h\left( {\left| x \right|} \right)\) có ít nhất 5 điểm cực trị thì hàm số \(h\left( x \right)\) phải có ít nhất 2 điểm cực trị dương.

Tìm điều kiện để phương trình \(h'\left( x \right) = 0\) có ít nhất 2 nghiệm dương phân biệt. Sử dụng tương giao đồ thị hàm số.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^{2023}} + 2023x} \right| + m} \right)\\ \Leftrightarrow g\left( x \right) = f\left( {\left| {x\left( {{x^{2022}} + 2023} \right)} \right| + m} \right)\\ \Leftrightarrow g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|.\left| {{x^{2022}} + 2023} \right| + m} \right)\\ \Leftrightarrow g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|.\left| {{{\left| x \right|}^{2022}} + 2023} \right| + m} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {x\left( {{x^{2022}} + 2023} \right) + m} \right) = f\left( {{x^{2023}} + 2023x + m} \right)\) \( \Rightarrow g\left( x \right) = h\left( {\left| x \right|} \right)\).

Để hàm số \(g\left( x \right) = h\left( {\left| x \right|} \right)\) có ít nhất 5 điểm cực trị thì hàm số \(h\left( x \right)\) phải có ít nhất 2 điểm cực trị dương.

\( \Rightarrow \) Phương trình \(h'\left( x \right) = 0\) phải có ít nhất 2 nghiệm dương phân biệt.

Ta có: \(h'\left( x \right) = \left( {2023.{x^{2022}} + 2023} \right)f'\left( {{x^{2023}} + 2023x + m} \right)\).

Do \(x > 0 \Rightarrow h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( {{x^{2023}} + 2023x + m} \right) = 0\).

Dựa vào BBT ta thấy \(f'\left( {2x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 0\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 1\\t = 2\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow f'\left( {{x^{2023}} + 2023x + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^{2023}} + 2023x + m = - 1\\{x^{2023}} + 2023x + m = 1\\{x^{2023}} + 2023x + m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^{2023}} + 2023x = - m - 1\\{x^{2023}} + 2023x = - m + 1\\{x^{2023}} + 2023x = - m + 2\end{array} \right.\)

Xét hàm số \(p\left( x \right) = {x^{2023}} + 2023x \Rightarrow p'\left( x \right) = 2023{x^{2022}} + 2023 > 0\,\,\forall x > 0\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(p\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy để phương trình \(f'\left( {{x^{2023}} + 2023x + m} \right) = 0\) có ít nhất 2 nghiệm dương thì \(0 < - m + 1 \Leftrightarrow m < 1\).

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow m \in \mathbb{Z},\,\,m \in \left[ { - 2023;1} \right)\) nên có 2024 giá trị m thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.