Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\). Biết hàm số \(y = f'\left( {1 + x} \right)\) có đồ

Câu hỏi số 671133:

Vận dụng

Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\). Biết hàm số \(y = f'\left( {1 + x} \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( { - {x^2} + 2x - 2023 + m} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\)?

A. 2025.

B. 2023.

C. 2024.

D. 2026.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671133

Phương pháp giải

Hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0\,\,\left( {y' < 0} \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {a;b} \right)\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Ta có: \(g'\left( x \right) = \left( { - 2x + 2} \right)f'\left( { - {x^2} + 2x - 2023 + m} \right)\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\) thì \(g'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( { - 2x + 2} \right)f'\left( { - {x^2} + 2x - 2023 + m} \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\ \Rightarrow f'\left( { - {x^2} + 2x - 2023 + m} \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)\,\,\,\left( * \right)\,\left( {do\,\, - 2x + 2 > 0\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)} \right)\end{array}\)

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( {1 + x} \right)\) ta thấy

\(\begin{array}{l}f'\left( {1 + x} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 0\\1 < x < 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow f'\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 < 0\\1 < t - 1 < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < 1\\2 < t < 3\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - {x^2} + 2x - 2023 + m < 1\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\2 < - {x^2} + 2x - 2023 + m < 3\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - {x^2} + 2x - 2023 + m < 1\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\2 < - {x^2} + 2x - 2023 + m < 3\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < {x^2} - 2x + 2024\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)\\{x^2} - 2x + 2025 < m < {x^2} - 2x + 2026\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le 2023\\2025 \le m \le 2025\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le 2023\\m = 2025\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp điều kiện m là số nguyên dương \( \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;...;2022;2023;2025} \right\}\) nên có 2024 giá trị m thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.