Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a. Gọi E là trung điểm của SA và F là trung điểm SC, biết BE
Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a. Gọi E là trung điểm của SA và F là trung điểm SC, biết BE vuông góc với AF. Thể tích của khối chóp B.AEFC bằng:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Gọi G là trung điểm của SF. Chứng minh tam giác BEG vuông tại E.
Đặt SA = SB = SC = x. Sử dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác và tính chất đường trung bình của tam giác tính BE, EG, BG theo a và b.
Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BEG tìm được b theo a.
Tính thể tích khối chóp đều S.ABC khi biết cạnh đáy và cạnh bên.
Sử dụng tỉ lệ thể tích Simpson chứng minh \({V_{S.EBF}} = \dfrac{1}{4}{V_{S.ABC}} \Rightarrow {V_{B.AEFC}} = \dfrac{3}{4}{V_{S.ABC}}\).
Gọi G là trung điểm của SF.
Ta có EG là đường trung bình của tam giác SAF nên EG // AF.
Mà \(AF \bot BE\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow BE \bot EG \Rightarrow \Delta BEG\) vuông tại E.
Đặt SA = SB = SC = b.
Xét tam giác SAB, trung tuyến BE ta có:
\(B{E^2} = \dfrac{{S{B^2} + A{B^2}}}{2} - \dfrac{{S{A^2}}}{4} = \dfrac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4} = \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{2}\)
Xét tam giác SAC, trung tuyến AF ta có:
\(A{F^2} = \dfrac{{S{A^2} + A{C^2}}}{2} - \dfrac{{S{C^2}}}{4} = \dfrac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4} = \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{2}\)
\( \Rightarrow E{G^2} = \dfrac{1}{4}A{F^2} = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} \right)\)
Xét tam giác SBC, trung tuyến BF có
\(B{F^2} = \dfrac{{S{B^2} + B{C^2}}}{2} - \dfrac{{S{C^2}}}{4} = \dfrac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4} = \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{2}\)
Xét tam giác SBF, trung tuyến BG có
\(B{G^2} = \dfrac{{S{B^2} + B{F^2}}}{2} - \dfrac{{S{F^2}}}{4} = \dfrac{{{b^2} + \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{{16}} = \dfrac{{9{b^2}}}{{16}} + \dfrac{{{a^2}}}{4}\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BEG có:
\(\begin{array}{l}B{E^2} + E{G^2} = B{G^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} \right) = \dfrac{{9{b^2}}}{{16}} + \dfrac{{{a^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{4}{b^2} = \dfrac{3}{8}{a^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} = \dfrac{3}{2}{a^2} \Leftrightarrow b = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\end{array}\)
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có: \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\( \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {42} }}{6}a\)
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt {42} }}{6}a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {14} }}{{24}}\).
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{S.EBF}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SE}}{{SA}}.\dfrac{{SF}}{{SC}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.EBF}} = \dfrac{1}{4}{V_{S.ABC}}\\ \Rightarrow {V_{B.AEFC}} = {V_{S.ABC}} - {V_{S.EBF}} = \dfrac{3}{4}{V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {14} }}{{32}}\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
