Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:Giá trị lớn nhất của hàm số

Câu hỏi số 671137:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {4x - {x^2}} \right) + \dfrac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 8x + \dfrac{1}{3}\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) bằng

A. 12.

B. 15.

C. \(\dfrac{{19}}{3}\).

D. \(\dfrac{{25}}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671137

Phương pháp giải

Tính g’(x), giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

Sử dụng phương pháp tìm GTLN của hàm số trên 1 đoạn cho trước.

Giải chi tiết

Ta có: \(g'\left( x \right) = \left( {4 - 2x} \right)f'\left( {4x - {x^2}} \right) + {x^2} - 6x + 8\)

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {4 - 2x} \right)f'\left( {4x - {x^2}} \right) + {x^2} - 6x + 8 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2\left( {x - 2} \right)f'\left( {4x - {x^2}} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ { - 2f'\left( {4x - {x^2}} \right) + x - 4} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \in \left[ {1;3} \right]\\ - 2f'\left( {4x - {x^2}} \right) + x - 4 = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(t = 4x - {x^2}\), ta có \(t' = 4 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

\(t\left( 2 \right) = 4,\,\,t\left( 1 \right) = t\left( 3 \right) = 3\)

\( \Rightarrow \) Với \(x \in \left[ {1;3} \right] \Rightarrow t \in \left[ {3;4} \right]\).

Dựa vào BBT ta thấy với \(t \in \left[ {3;4} \right] \Rightarrow f'\left( t \right) > 0\)

\( \Rightarrow f'\left( {4x - {x^2}} \right) > 0\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right] \Rightarrow - 2f'\left( {4x - {x^2}} \right) < 0\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\)

Lại có \(x - 4 < 0\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\)

\( \Rightarrow - 2f'\left( {4x - {x^2}} \right) + x - 4 = 0 < 0\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\) nên phương trình (*) vô nghiệm.

Do đó phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất x = 2.

Ta có:

\(\begin{array}{l}g\left( 2 \right) = f\left( 4 \right) + 7 = 5 + 7 = 12\\g\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) + \dfrac{{17}}{3}\\g\left( 3 \right) = f\left( 3 \right) + \dfrac{{19}}{3} < 4 + \dfrac{{17}}{3} = \dfrac{{29}}{3} < 12\\ \Rightarrow g\left( 1 \right) < g\left( 3 \right) < g\left( 2 \right)\end{array}\)

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = 12\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.