Cho mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right)\) và điểm \({\rm{M}}\) nằm ngoài \(\left( {\rm{P}} \right)\). Kẻ

Câu hỏi số 671617:

Vận dụng

Cho mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right)\) và điểm \({\rm{M}}\) nằm ngoài \(\left( {\rm{P}} \right)\). Kẻ \(MA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right)\) và \({\rm{MB}},{\rm{MC}}\) là hai đường xiên đối với mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right)\). Cho biết \({\rm{MA}} = {\rm{a}};{\rm{MB}},{\rm{MC}}\) tạo với mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right)\) các góc \({30^ \circ }\) và \(MB \bot MC\).

a) Tính độ dài \({\rm{BC}}\);

b) Tính số đo nhị diện \(\left[ {{\rm{M}},{\rm{BC}},{\rm{A}}} \right]\).

Phương pháp giải

Ta xác định góc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) theo 3 bước:

Bước 1: Tìm giao tuyến \({\rm{\Delta }} = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\).

Bước 2: Tìm \(a \subset \left( P \right):a \bot {\rm{\Delta }}\) và \(b \subset \left( Q \right):b \bot {\rm{\Delta }}\).

Bước 3: Kết luận \(\left[ {P,{\rm{\Delta }},Q} \right]\)

Giải chi tiết

a) Vì \(MA \bot mp\left( P \right)\) nên \(\widehat {MBA}\) và \(\widehat {MCA}\)

là góc giữa \(MB\) và \(MC\) với \(mp\left( P \right)\).

Theo giả thiết. \(\widehat {MBA} = \widehat {MCA} = {30^ \circ }\).

Từ đó \(MB = MC = 2a\) và \(AB = AC = a\sqrt 3 \).

Do \(MB \bot MC\) nên \(BC = MB\sqrt 2 \) tức là \(BC = 2a\sqrt 2 \).

b) Gọi I là trung điểm của \({\rm{BC}}\) thì \(BC \bot mp\left( {MIA} \right)\),

Từ đó \(\widehat {MIA}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {{\rm{M}},{\rm{BC}},{\rm{A}}} \right]\).

Đặt \(\widehat {MIA} = \varphi \). Ta có \(MI = \dfrac{1}{2}BC = a\sqrt 2 .{\rm{sin}}\varphi = \dfrac{{MA}}{{MI}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi = {45^ \circ }\).

Vậy góc nhị diện \(\left[ {{\rm{M}},{\rm{BC}},{\rm{A}}} \right]\) bằng \({45^ \circ }\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:671617

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.